Гипотеза Римана

Гипотеза Римана о распределении нулей дзета-функции Римана быласформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году.
 В то время как не найдено какой-либо закономерности, описывающейраспределение простых чисел среди натуральных, Риман обнаружил, чтоколичество простых чисел, не превосходящих x, — функцияраспределения простых чисел, обозначаемая π(x) — выражается черезраспределение так называемых «нетривиальных нулей» дзета-функции.
 Многие утверждения о распределении простых чисел, в том числе овычислительной сложности некоторых целочисленных алгоритмов, доказаны впредположении верности гипотезы Римана.
 Гипотеза Римана входит в список семи «проблем тысячелетия», за решениекаждой из которых Математический институт Клэя (Clay MathematicsInstitute, Кембридж, Массачусетс) выплатит награду в один миллиондолларов США. В случае публикации контрпримера к гипотезе Римана, учёныйсовет института Клэя вправе решить, можно ли считать данный контрпримерокончательным решением проблемы, или же проблема может бытьпереформулирована в более узкой форме и оставлена открытой (в последнемслучае автору контрпримера может быть выплачена небольшая частьнаграды).

Формулировка


 Дзета-функция Римана ζ(s) определена для всех комплексных s1и имеет нули в отрицательных чётных s=2,4,6.
 Из функционального уравненияζ(s)=2sπssinπs21sinπsΓ(s)ζ(1s)и явного выражения1ζ(s)=n=1μ(n)ns приRes>1, где μ(n) — функция Мёбиуса, следует, чтовсе остальные нули, называемые «нетривиальными», расположены в полосе0Res1 симметрично относительно такназываемой «критической линии» 12+it,tR.

ГипотезаРимана


 Гипотеза Римана утверждает, что:

 «Все нетривиальные нули дзета-функции имеют действительную часть,равную $\frac{1{2}»,тоестьявляютсякомплекснымичислами,расположенныминапрямой\operatorname{Re} s = \frac{1}{2}$.

Обобщённая гипотезаРимана


Обобщённая гипотеза Римана состоит из того же самогоутверждения для обобщений дзета-функций, называемых L-функциями Дирихле.

Эквивалентныеформулировки


 В 1901 году Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана эквивалентнаследующему утверждению о распределении простых чисел:

π(x)=2xdtlnt+O(xlnx)при x.
 Ещё несколько эквививалентных формулировок:

  • Для всех x2657 выполняется неравенство |π(x)2xdtlnt|<18πxlnx,


  • Для всех x73.2 выполняется неравенство |ψ(x)x|<18πxln2(x), где ψ(x) — вторая функция Чебышёва,


  • Для всех n>5040 выполняется неравенство σ(n)<eγnloglogn, где σ(n) — функция делителей числа n, а γ — постоянная Эйлера-Маскерони.Неравенство нарушается при n = 5040 и некоторых меньших значениях, но Гай Робин в 1984 году показал, что оно соблюдается для всех бóльших целых, тогда и только тогда, когда гипотеза Римана верна.


  • Для всех n>1 выполняется неравенство σ(n)<Hn+eHnlnHn, где Hn — n-е гармоническое число.


  • Для любого положительного ε выполняется неравенство M(n)=O(n1/2+ε), где M(n) — функция Мертенса, см. также обозначение O большое. Более сильная гипотеза |M(n)|<n была опровергнута в 1985 году.


  • Гипотеза Римана эквивалентна следующему равенству: 0(112t2)(1+4t2)31/2log|ζ(σ+it)|dσdt=π(3γ)32.


  • Показано, что гипотеза Римана истинна тогда и только тогда, когда интегральное уравнение


0zσ1ϕ(z)dzex/z+1=0
 не имеет нетривиальных решений ϕ для 1/2<σ<1.

  • Если гипотеза Римана неверна, то существует алгоритм, который рано или поздно обнаружит её нарушение. Отсюда следует, что если отрицание гипотезы Римана недоказуемо в арифметике Пеано, то гипотеза Римана верна.

История


 В 1896 году Адамар и Валле-Пуссен независимо доказали, что нулидзета-функции не могут лежать на прямых Res=0 иRes=1.
 В 1900 году Давид Гильберт включил гипотезу Римана в список 23нерешённых проблем как часть восьмой проблемы, совместно с гипотезойГольдбаха.
 В 1914 году Харди доказал, что на критической линии находится бесконечномного нулей, а позже совместно с Литлвудом дал нижнюю оценку доли нулей,лежащей на критической линии, которую потом улучшали разные математики.
 Некоторые нетривиальные нули располагаются экстремально близко друг кдругу. Это свойство известно как «явление Лемера».
 Титчмарш и Ворос в 1987 году показали, что дзета-функция может бытьразложена в произведение через свои нетривиальные нули в разложениеАдамара.
 На 2004 год проверены более 10\textsuperscript13 первых нулей..

Соображения об истинностигипотезы


 В обзорных работах (, , ) отмечается, что данные в пользу истинностигипотезы Римана сильны, но оставляют место для обоснованных сомнений.Отдельные авторы, однако, убеждены в ложности гипотезы (в частности, таксчитал Джон Литлвуд).
 Среди данных, позволяющих предполагать истинность гипотезы, можновыделить успешное доказательство сходных гипотез (в частности, гипотезыРимана о многообразиях над конечными полями). Это наиболее сильныйтеоретический довод, позволяющий предположить, что условие Риманавыполняется для всех , связанных с , что включает классическую гипотезуРимана. Истинность аналогичной гипотезы уже доказана для , в некоторыхотношениях сходной с функцией Римана, и для (аналог дзета-функции Риманадля функциональных полей).
 С другой стороны, некоторые из не удовлетворяют условию Римана, хотя ониимеют бесконечное число нулей на критической линии. Однако эти функциине выражаются через ряды Эйлера и не связаны напрямую с автоморфнымиотображениями.
 К «практическим» доводам в пользу истинности Римановской гипотезыотносится вычислительная проверка большого числа нетривиальных нулейдзета-функции в рамках проекта ZetaGrid.

Связанныепроблемы


Две гипотезыХарди-Литтлвуда


 В 1914 году Годфри Харольд Харди доказал, что функцияζ(12+it) имеет бесконечно много вещественныхнулей.
 Пусть N(T) есть количество вещественных нулей, а N0(T) количествонулей нечётного порядка функции ζ(12+it),лежащих на интервале (0,T].
 Две гипотезы Харди и Литлвуда (о расстоянии между вещественными нулямиζ(12+it) и о плотности нулейζ(12+it) на интервалах (T,T+H] придостаточно большом T>0, H=Ta+ε и как можноменьшем значении a>0, где ε>0 сколь угодно малоечисло), определили два направления в исследовании дзета-функции Римана:

  1. Для любого ε>0 существует T0=T0(ε)>0, такое что при TT0 и H=T0,25+ε интервал (T,T+H] содержит нуль нечётного порядка функции ζ(12+it).
  2. Для любого ε>0 существуют такие T0=T0(ε)>0 и c=c(ε)>0, что при TT0 и H=T0,5+ε справедливо неравенство N0(T+H)N0(T)cH.

Гипотеза А.Сельберга


 В 1942 году Атле Сельберг исследовал проблему Харди-Литтлвуда 2и доказал, что для любого ε>0 существуютT0=T0(ε)>0 и c=c(ε)>0, такие что дляTT0 и H=T0,5+ε справедливо неравенствоN(T+H)N(T)cHlogT.
 В свою очередь, Атле Сельберг высказал гипотезу, что можно уменьшитьпоказатель степени a=0,5 для величины H=T0,5+ε.
 В 1984 году А. А. Карацуба доказал, что при фиксированном εс условием 0<ε<0,001, достаточно большом T иH=Ta+ε,a=2782=131246 промежуток (T,T+H)содержит не менее cHlnT вещественных нулей дзета-функции Риманаζ(12+it). Тем самым он подтвердил гипотезуСельберга.
 Оценки А. Сельберга и А. А. Карацубы являются неулучшаемыми по порядкуроста при T+.
 В 1992 году А. А. Карацуба доказал, что аналог гипотезыСельберга справедлив для «почти всех» промежутков (T,T+H],H=Tε, где ε — сколь угодно малоефиксированное положительное число. Метод, разработанный Карацубой,позволяет исследовать нули дзета-функции Римана на «сверхкоротких»промежутках критической прямой, то есть на промежутках (T,T+H], длинаH которых растёт медленнее любой, даже сколь угодно малой, степениT. В частности, он доказал, что для любых заданных чиселε, ε1 с условием0<ε,ε1<1 почти все промежутки (T,T+H] приHexp{(lnT)ε} содержат не менееH(lnT)1ε1 нулей функцииζ(12+it). Эта оценка весьма близка к той, чтоследует из гипотезы Римана.

Интересныефакты



  • Знаменит ответ Гильберта на вопрос о том, каковы будут его действия, если он по какой-либо причине проспит пятьсот лет и вдруг проснётся. Математик ответил, что первым делом он спросит, была ли доказана гипотеза Римана.
  • Гипотеза Римана относится к знаменитым открытым проблемам математики, в число которых в своё время входила и теорема Ферма. Как известно, Ферма сделал запись о том, что доказал свою теорему, не оставив самого доказательства, и тем самым бросил вызов следующим поколениям математиков. Британский математик Г. Х. Харди использовал ситуацию с этими проблемами для обеспечения собственной безопасности во время морских путешествий. Каждый раз перед отправкой в путешествие он отправлял одному из своих коллег телеграмму: «Доказал гипотезу Римана. Подробности по возвращении.» Харди считал, что бог не допустит повторения ситуации с теоремой Ферма и позволит ему благополучно вернуться из плавания.
  • Группа математиков Университета Пердью (США) под руководством Луи де Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) предложила доказательство гипотезы Римана, которое, однако, оказалось неверным.
  • 18 ноября 2015 года в некоторых СМИ появились сообщения о том, что некий нигерийский математик Опиеми Энох (Opeyemi Enoch) якобы предъявил доказательство гипотезы Римана. Предъявленной оказалась более ранняя работа Werner Raab, также не опубликованная в научной периодике.