Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Формула Стирлинга

 В математике формула Стирлинга (также формулаМуавра — Стирлинга) — формула для приближённого вычисленияфакториала и гамма-функции. Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахамаде Муавра, последний считается автором формулы.
 Наиболее используемый вариант формулы:

 $\ln \Gamma(n+1) = \ln n! = n\ln n - n +O(\ln(n))\$
 Следующий член в O(ln(n)) — это ln(2πn); такимобразом более точная аппроксимация:

limnn!2πn(ne)n=1,
 что эквивалентно

n!2πn(ne)n.
 Часто формулу Стирлинга записывают в виде

n!=2πn(ne)nexpθn12n,где 0<θn<1, n>0.
 Более точную оценку дает формула

n!=2πn(ne)ne1/(12n+θn),где 0<θn<1, n>0.
 В последней формуле максимальное значение θn в действительностименьше 1 и примерно равно 0,7509.
 Формула Стирлинга является приближением, полученным из разложенияфакториала в ряд Стирлинга, который при n>0 имеет вид
n!2πn(ne)nexpk=1B2k2k(2k1)n2k1==2πn(ne)n(1+112n+1288n213951840n35712488320n4+)==2πn(ne)n(1+1(21)(6n)1+1(23)(6n)2139(23)(235)(6n)3571(26)(235)(6n)4+), где Bj — числа Бернулли с номером j.
 В этой формуле используется символ эквивалентности вместо равенства, таккак ряд расходится при каждом фиксированном n, однако он являетсяасимптотическим разложением факториала при n.