Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Арифметическая комбинаторика

Арифметическая комбинаторика — раздел математики, возникшийна стыке теории чисел, комбинаторики, эргодической теории игармонического анализа.
 Пусть N — множество натуральных чисел, E —чётных, P — простых, а S — множество всехквадратов натуральных чисел.
 Знаменитую теорему Лагранжа можно компактно сформулировать как равенствоS+S+S+S=N, а не менеезнаменитую гипотезу Гольдбаха — какP+PE. Изучением поведенияподмножеств целых чисел (а также более сложных алгебраических структур)относительно имеющихся операций занимается (в тесном сотрудничестве страдиционной теорией чисел) арифметическая комбинаторика.
Аддитивная комбинаторика относится к специальному случаюарифметической комбинаторики, когда во внимание берутся только операциисложения и вычитания.
 Изучаемые множества могут быть подмножествами алгебраических структур,отличных от целых чисел, например, групп, колец или полей.
 Арифметическая комбинаторика объясняется врецензииГрина на книгу «Аддитивная комбинаторика» Тао и Ву.

Примерзадачи


 Пусть A — множество, содержащее n целых чисел, каковбудет размер множества сумм

A+A:={x+y:x,yA},
 множества разностей (не путать с разностью множеств)

AA:={xy:x,yA},
 или множества произведений (не путать с произведением множеств)

A×A:={xy:x,yA}
 Как связаны размеры этих множеств?