Processing math: 100%

Неравенство треугольника Ружа

Неравенство треугольника Ружа - утверждение из областиарифметической комбинаторики, связывающей все попарные разности поМинковскому трёх множеств в произвольной группе.

Формулировка


 Пусть (G,+) - группа, U,V,WG.
 Тогда |U||VW||VU||UW|, гдеAB={ab:aA,bB}.

Неравенство треугольника сосложением


 Имеется ещё одно неравенство, аналогичное неравенству треугольника Ружи,которое, однако, доказывается сложнее, чем классическое - сиспользованием неравенство Плюннеке-Ружа, которое само доказывается сиспооьзованием классического неравенства Ружи.
|U||V+W||V+U||U+W|

Доказательство


 Рассмотрим функцию φ:(VU)×(UW)(VW),определяемую как φ(x,y)=x+y. Тогда для каждого образаvwVW существует не менее |U| различных прообразов вида(vu,uw),uU. Это означает, что общее число прообразов неменьше, чем |VW||U|. Значит, |U||VW||VU||UW|

Аналогия с неравенствомтреугольника


 Рассмотрим функцию, определяющую ``расстояние между множествами'' втерминах разности Минковского:
 $\rho(A, B) = \log \frac{|
 Эта функция не является метрикой, потому что для неё не выполняется равенство \rho(A,A)=0$,но она, очевидно, симметрична, и из неравенства Ружа напрямую следуетнеравенство треугольника для неё:
ρ(V,W)ρ(V,U)+ρ(U,W)

Основныеследствия


 Подставив V=W=A,U=B, получим
|B||AA||AB|2
 $|A-A| \le \left({\frac{|
|A-B| \le K |B|, K \in {\mathbb R} \Rightarrow |A-A| \le K^2 |B|$
 Подставив W=W, получим
|U||V+W||VU||U+W|
 Подставив U=U, получим
|U||VW||V+U||U+W|.