Цепные дроби

 Простейшей цепной или непрерывной дробью называется выражениеa0+1a1+1a2+.(1)
a0+1a1+1a2+.(1)
В наиболее общем случае a0,a1,a2, являются произвольными переменными. Далее в данной статье мы будем считать, что a0 – целое число, а a1,a2, – натуральные. Для большего удобства записи непрерывную дробь (1) иногда обозначают так: [a0;a1; a2;]. Если цепная дробь обрывается на некотором элементе an, то ее называют конечной или n-членной. В противном случае она называется бесконечной.Например, число 2 допускает разложение в следующую цепную дробь:2=1+12+12+12+.
Действительно, пусть 2=a0+1α1, и если потребовать того, чтобы a0 было натуральным, получим, что a0=1 и α1=121. Теперь разложим α1 в непрерывную дробь: пустьα1=121=a1+1α1,
тогда a1=2 иα2=1α12=11212=21322=21(21)2=121=α1.
Легко понять, что тогда все последующие элементы an будут также равны 2. То есть данное разложение будет бесконечным и периодическим.
 Отметим основные свойства цепных дробей.Подходещей дробью называют число:pnqn=a0+1a1+1a2+1an.
Несложно понять, что pnqn=P(a0,,an)Q(a0,,an), где Pи Q – многочлены. Также, очевидно, что p0q0=a01=a0. Основы аналитической теории цепныхдробей были созданы Леонардом Эйлером в середине XVIII века.Теорема.(Закон образования подходящих дробей, Эйлер).            (2)Пусть p0=a0,,q0=1,p1=1,q1=0. Тогда для любого k1:pk=akpk1+pk2,qk=akqk1+qk2.
Доказательство.При k=1 непосредственно подстановкой убеждаемся, что эти формулы верны. Пусть они верны для всех k<n.Рассмотрим цепную дробь [a1;a2;;an]. Будем обозначать подходящие дроби к этой цепной дроби как prqr.Несложно убедиться, чтоpn=a0pn1+qn1qn=qn1.(3)
По нашему предположениюpn1=anpn2+pn3qn1=anqn2+qn3
В итоге, используя (3) получимpn=a0(anpn2+pn3)+anqn2+qn3=an(a0pn2+qn2)+(a0pn3+qn3)=anpn1+pn2qn=anqn2+qn3=anqn1+qn2.
Что и требовалось доказать.
Следствие. (Эйлер).            (4)Для всех k0qkpk1pkqk1=(1)k.
Доказательство.Пользуясь теоремой 2 имеем:qkpk1pkqk1=(akqk1+qk2)pk1(akpk1+pk2)qk1==(qk1pk2pk1qk2)==(1)k(q0p1p0q1)=(1)k.
Следствие. (Эйлер).            (5)Для всех n1pn1qn1pnqn=(1)nqnqn1.(6)
Следствие. (Эйлер).            (7)Для всех k1qkpk2pkqk2=(1)k1ak.
Доказательство.Пользуясь теоремой 2 имеем и следствием 4:qkpk2pkqk2=(akqk1+qk2)pk2(akqk1+pk2)qk2==ak(qk1pk2pk1qk2)=(1)k1ak.
Следствие. (Эйлер).            (8)Для всех n2pn2qn2pnqn=(1)n1anqnqn2.
Отсюда следует, что подходящие дроби четного порядка образуют возрастающую, а подходящие дроби нечетного порядка - убывающую последовательность. При этом любая подходящая дробь нечетного порядка больше любой подходящей дроби четного порядка.Если рассмотреть бесконечную непрерывную дробь, то, очевидно, имеет место следующее утверждение: значение сходящейся бесконечной непрерывной дроби больше значения любой подходящей дроби четного порядка и меньше значения любой подходящей дроби нечетногопорядка.