Континуанта

Континуантой индекса n называется многочленKn(x1,,xn), определяемый рекуррентным соотношением:


K1=0,K0=1,
Kn(x1,,xn)=xnKn1(x1,,xn1)+Kn2(x1,,xn2).

 Континуанта может быть также определена как определительтрёхдиагональной матрицы


 K\_n(x\_1,\{;x\_2,\{;\{ldots,\{;x\_n)=

 \{det \{begin\{pmatrix\} x\_1 \& 1 \& 0\&\{cdots \& 0 \{\{ -1 \& x\_2\& 1 \& \{ddots \&\{vdots\{\{ 0 \& -1 \&\{ddots \&\{ddots \& 0\{\{ \{vdots \&\{ddots \& \{ddots \&\{ddots\& 1 \{\{ 0 \& \{cdots \& 0 \&-1 \&x\_n \{end\{pmatrix\}.

Свойства



  • Континуанта Kn(x1,,xn) есть сумма всех одночленов, получаемых из одночлена x1xn вычеркиванием всевозможных непересекающих пар соседних переменных (правило Эйлера).
    • Пример:
      K5(x1,x2,x3,x4,x5)=x1x2x3x4x5+x3x4x5+x1x4x5+x1x2x5+x1x2x3+x1+x3+x5.
    • Следствие:
        Континуанты обладают зеркальной симметрией: Kn(x1,,xn)=Kn(xn,,x1).

  • Kn(1,,1)=Fn+1 — число Фибоначчи.
  • Справедливо тождество:
    Kn(x1,,xn)Kn1(x2,,xn)=x1+Kn2(x3,,xn)Kn1(x2,,xn)
  • В поле рациональных дробей
      \{frac\{K\_n(x\_1,\{;\{ldots,x\_n)\}\{K\_\{n-1\}(x\_2,\{;\{ldots,\{;x\_n)\} = [x\_1;\{;x\_2,\{;\{ldots,\{;x\_n] =

 x\_1 + \{frac\{1\}\{\{displaystyle\{x\_2 +\{frac\{1\}\{x\_3 + \{ldots\}\}\} — цепнаядробь.

  • Справедливо матричное соотношение:
      \{begin\{pmatrix\} K\_n(x\_1,\{;\{ldots,\{;x\_n) \& K\_\{n-1\}(x\_1,\{;\{ldots,\{;x\_\{n-1\}) \{\{ K\_\{n-1\}(x\_2,\{;\{ldots,\{;x\_n) \& K\_\{n-2\}(x\_2,\{;\{ldots,\{;x\_\{n-1\}) \{end\{pmatrix\} =

 \{begin\{pmatrix\} x\_1 \& 1\{\{ 1 \& 0\{end\{pmatrix\}\{times\{ldots\{times\{begin\{pmatrix\}x\_n \& 1 \{\{ 1 \& 0\{end\{pmatrix\}.

    • Откуда для определителей получается тождество:
      Kn(x1,,xn)Kn2(x2,,xn1)Kn1(x1,,xn1)Kn1(x2,,xn)=(1)n.
    • А также:
      Kn1(x2,,xn)Kn+2(x1,,xn+2)Kn(x1,,xn)Kn+1(x2,,xn+2)=(1)n+1xn+2.