Функция Минковского

Функция «вопросительный знак» Минковского — построеннаяГерманом Минковским монотонная сингулярная функция ?(x)?(x) на отрезке[0,1][0,1], обладающая рядом замечательных свойств. Так, онавзаимно-однозначно и с сохранением порядка переводит квадратичныеиррациональности (то есть, числа вида (a+b),(a+b), где aa и bbрациональные) на отрезке [0,1][0,1] в рациональные числа на том жеотрезке, а рациональные числа — в двоично-рациональные. Она связана срядами Фарея, цепными дробями, и дробно-линейными преобразованиями, а еёграфик обладает рядом интересных симметрий.

Построение


 Функция Минковского может быть задана несколькими эквивалентнымиспособами: через ряды Фарея, через цепные дроби, и построением графика спомощью последовательных итераций.

Задание с помощью дерева Штерна —Броко


 В концах отрезка функция Минковского задаётся как ?(0)=0?(0)=0 и ?(1)=1?(1)=1.После этого, для любых двух рациональных чисел abab иcdcd, для которых adbc=1adbc=1 — иными словами, для любых двухпоследовательных в каком-либо из рядов Фарея, — функция в их медиантеa+cb+da+cb+d определяется как среднее арифметическое значений вэтих точках:

?(a+cb+d)=12(?(ab)+?(cd)).?(a+cb+d)=12(?(ab)+?(cd)).
 Так,

?(12)=?(0)+?(1)2=12,?(12)=?(0)+?(1)2=12,
?(13)=?(0)+?(1/2)2=14,?(13)=?(0)+?(1/2)2=14,
?(23)=?(1/2)+?(1)2=34?(23)=?(1/2)+?(1)2=34
 и так далее.
 Поскольку последовательности

01,11,01,11,
01,12,11,01,12,11,
01,13,12,23,11,01,13,12,23,11,
 в которых следующая получается из предыдущей дописыванием между каждымисоседними её элементами их медианты, перечисляют в объединении всерациональные числа отрезка [0,1][0,1] (см. дерево Штерна — Броко) —такая итеративная процедура задаёт функцию Минковского во всехрациональных точках [0,1][0,1]. Более того, как несложно видеть,множеством её значений в этих точках оказываются в точности вседвоично-рациональные числа [0,1][0,1] — иными словами, плотное в[0,1][0,1] множество. Поэтому построенная функция по монотонностиоднозначно продолжается до непрерывной функции?:[0,1][0,1]?:[0,1][0,1] — и это и есть функция Минковского.

Задание с помощью цепнойдроби


 Функция Минковского, в определённом смысле, преобразует разложение вцепную дробь в представление в двоичной системе счисления. А именно,точку x[0,1]x[0,1], раскладывающуюся в цепную дробь какx=[0;a1,a2,]x=[0;a1,a2,], функция Минковского переводит в

?(x)=k=1(1)k12a1++ak1.?(x)=k=1(1)k12a1++ak1.
 Иными словами, точка

x=1a1+1a2+1a3+x=1a1+1a2+1a3+
 переходит в точку

?(x)=0,00a1111a200a311a4(2).?(x)=0,00a1111a200a311a4(2).

Самоподобие


 Пусть точка x[0,1]x[0,1] задаётся цепной дробьюx=[0;a1,a2,]x=[0;a1,a2,]. Тогда увеличение a1a1 на единицу, тоесть, переход к y=[0;a1+1,a2,]y=[0;a1+1,a2,] задаётся отображением

f:xy=11+1x=x1+x,
 а функция Минковского после такого преобразования делится (как этоследует из её задания через цепную дробь аргумента) пополам:

?(x1+x)=?(x)2.(1)
 С другой стороны, из симметрии относительно 1/2 медиантной конструкциилегко видеть, что

?(1x)=1?(x).(2)
 Сопрягая (1) с помощью (2), видим, что под действием отображенияg(x)=1f(1x)=11x2x=12x, функция Минковскогопреобразуется как

?(12x)=1+?(x)2.
 Поэтому график функции Минковского переводится в себя каждым изпреобразований

F(x,t)=(x1+x,t2),G(x,t)=(12x,1+t2).(3)
 Более того, объединение их образов — это в точности весь исходныйграфик, поскольку образ F — это часть графика над отрезком[0,1/2], а образ G — график над отрезком [1/2,1].

Построение графика какфрактала


 График функции Минковского может быть построен как предельное множестводля . А именно, отображения F и G, заданные формулами (3), сохраняютграфик функции Минковского и переводят единичный квадрат внутрь себя.Поэтому последовательность множеств Xn, определённая рекурсивносоотношениями

X0=[0,1]×[0,1],Xn+1=F(Xn)G(Xn),
 — это убывающая по вложению последовательность множеств, причём графикΓ={(x,?(x))x[0,1]} функции Минковского содержится влюбом из них.
 Несложно увидеть, что Xn является объединением прямоугольников высоты1/2n, поэтому предельное множество

X=nXn
 является графиком некоторой функции. Поскольку ΓX,то они совпадают. Поэтому график функции Минковского — это предельноемножество системы итерируемых функций

F,G:[0,1]2[0,1]2.

Свойства



  • Функция Минковского сингулярна, то есть в почти любой (по мере Лебега) точке x[0,1] её производная существует и равна нулю. Тем самым, мера на [0,1], функцией распределения которой является функция Минковского (продолженная нулём на отрицательные числа и единицей на большие единицы), сингулярна.
  • Функция Минковского взаимно однозначно переводит рациональные числа на отрезке [0,1] в двоично-рациональные числа на том же отрезке.
  • Функция Минковского взаимно однозначно переводит квадратичные иррациональности на отрезке [0,1] в рациональные числа на том же отрезке. Действительно, число x является квадратичной иррациональностью тогда и только тогда, когда его разложение в цепную дробь, начиная с некоторого момента, периодично; с другой стороны, эта периодичность равносильна периодичности двоичной записи образа — иными словами, рациональности ?(x).
  • График функции Минковского переводится в себя отображениями F и G, заданными (3), а, следовательно, и их композициями.