Функциональные цепные дроби

 Обобщением обыкновенных цепных дробей являются функциональные цепные дроби
f(x)=f0(x)+g1(x)(f1(x)+g2(x)f2(x)+g3(x)f3(x)+.
Функциональные цепные дроби обладают всеми свойствами обыкновенных цепных дробей. Поэтому они могут являться эффективныммеханизмом вычисления значения функции в точке.Однако, построение цепной дроби по функции является не тривиальной задачей. Большинство таких разложения было получено с помощью метода Лагранжа. Он предложил следующий способ решения дифференциальных уравнений с помощью цепных дробей. Пусть дано дифференциальное уравнение связывающее y с x. Пусть yξ0, при x0. Положим тогда y=ξ01+y1 и подставим это соотношение в исходное уравнение. Получим дифференциальное уравнение связывающее y1 с x. Пусть y1ξ1, при x0.Положим тогда y1=ξ01+y2 и повторим тот же процесс. В итоге придем к решению исходного уравнения в виде цепной дроби
ξ0+1ξ1+1ξ2+1ξ3+.
Таким методом можно решить многие дифференциальные уравнения. Но при этом обычно бывает трудно найти зависимостьξn от индекса n, т. е. найти общее звено цепной дроби.В качестве примера, применим метод Лагранжа к решению уравнения
(α+α+x)xdydx+(β+βx)y+γy2=δx,y(0)=0.(1)
Положим y=δxα+β+y1 и приведем это уравнение к виду
(α+α+x)xdy1dx+(α+β(α+β)x)y1+y12=((α+β)(α+β)+γδ)x.
Повторяя этот процесс, мы получим цепную дробь
y=δxα+β+((α+β)(α+β)+γδ)x2α+β+(αααβ+αβ+γδ)x+((nα+β)(nα+β)+γδ)x(2n)α+β+(n2ααnαβ+nαβ+γδ)x(2n+1)α+β+
Подобным же образом можно получить, что дифференциальное уравнение
(α+α+xk)xdydx+(β+βxk)y+γy2=δxk,y(0)=0.(2)
имеет решение
y=δxkkα+β+((kα+β)(α+β)+γδ)xk2kα+β+(k2αααβ+αβ+γδ)xk+((nkα+β)(nkα+β)+γδ)xk(2n)kα+β+(n2k2ααnkαβ+nkαβ+γδ)xk(2n+1)kα+β+
Почти все дифференциальные уравнения, решения которых были получены Эйлером, Лагранжом и другими математиками, являются частными случаями уравнения (2). Поэтому естественно называть это уравнение основным дифференциальным уравнением цепных дробей.