Разложение арктангенса

 Дифференциальное уравнение для функции y=arctanx имеет вид
dydx=11+x2
Положив y=x1+z, преобразуем исходноеуравнение к виду
(1+x2)xdzdx+(1x2)z+z2=x2,z(0)=0
Это частный случай основного дифференциального уравнения цепных дробей при
α=α=β=γ=δ=1,β=1,k=2.
Поэтому имеем
arctanx=x1+z=x1+x23+4x2+n2x22n+1+
Это разложение было получено Ламбертом. Несложно показать, что оно сходится при x(,+).В качестве примера вычислим значение arctan1.
arctan1=11+13+4+n22n+1+0,785398
Подходящие дроби будут
1,34,1924,160204,17442220,