Разложение дробно-рациональной функции

 Рассмотрим дробно-рациональную функцию
f(x)=a10+a11x+a12x2+a00+a01x+a02x2+.
Производя элементарные преобразования, будем иметь
f(x)=1a00a10+a00+a01x+a02x2+a10+a11x+a12x2+a00a10=a10a00+xf1(x),
где
f1(x)=a20+a21x+a22x2+a10+a11x+a12x2+,
и
a2k=a10a0,k+1a00a1,k+1.
Продолжая, получим разложение
f(x)=a10a00+a20xa10+a30xa20+,
где
ajk=|aj2,0aj2,k+1aj1,0aj1,k+1|.(1)
В качестве примера разложим в цепную дробь функцию f(x)=1x15x+6x2. Пользуясь формулой (1) получим
f(x)=11+xf1(x),гдеf1(x)=|1511||1610|x1x.
Повторяя процесс получим
f(x)=114x1+xf2(x),гдеf2(x)=|1146|4+6x.
И наконец
f(x)=114x12x4+xf3(x),гдеf3(x)=|4620|2.
Этот же процесс можно было представить несколько короче, в виде следующей таблицы
ai,j012j
01-56
11-1
2-44
3-2
4-12
i
в любом случае, получим следующее выражение
f(x)=1x15x+6x2=114x12x4+6x=114x1+x23x.
Подходящие дроби, для этой функции будут
0,1,114x,2+x27x,22x210x+12x2.