Разложение показательной функции

 Положив x равным xμ, разложение степенной функции примет вид
(1+xμ)μ=1+x1+(1μ)xμ2+(1+μ)xμ3+(2+μ)xμ+(nμ)xμ2+(n+μ)xμ2n+1+
Устремив μ к получим следующее разложение
ex=1+x1x2+x32xnx2+nx2n+1+
которое, как всегда, сходится при x(1,+). Упростив разложение полученнное выше, придем к известному выражению, полученному еще Эйлером
ex=1+2x2x+x26+x210+x2+x22(2n+1)+
В качестве примера вычислим значение e.
e=e1=1+21+16+110+1+12(2n+1)+2,7182818
Подходящие дроби будут
1,3,197,19371,27211001,