Разложение степенной функции

 Пусть y=(1+x)μ, где μ – любое действительное число. Тогда
(1+x)dydx=μy,y(0)=1.
Положив y=1+μx1+z, преобразуем исходное уравнение к виду
(1+x)xdzdx+(1+(1μ)x)z+z2=(1μ)x,z(0)=0
Это частный случай \textcolorblueосновного дифференциального уравнения цепных дробей при
k=α=α=β=γ=1,β=(1μ),δ=(1μ).
Отсюда, имеет место следующее разложение
(1+x)μ=1+μx1+(1μ)x2+(1+μ)x3+(2μ)x+(nμ)x2+(n+μ)x2n+1+(1)
или, если записать в более компактной форме
(1+x)μ=1+2μx2+(1μ)x(1μ2)x3(2+x)(4μ2)x(n2μ2)x(2n+1)(2+x)+
Несложно показать, что это разложение сходится при x(1,+).В качестве примера вычислим значение 23.
23=(1+1)13=1+13+22+49+52++3n12+3n+13(2n+1)+1,259921
Подходящие дроби будут
1,43,108,10684,262208,46723708,