Матричная форма цепной дроби

 Рассмотрим матричное представление цепных дробей (как одномерных, так и многомерных). Пуcть
Ak=(pk,1pk1,1pkn,1pk,2pk1,2pkn,2pk,npk1,npkn,nqkqk1qkn)
n-мерная квадратная матрица. Тогда основное свойство цепных дробей запишется в виде
Ak=(pk,1pk1,1pkn,1pk,2pk1,2pkn,2pk,npk1,npkn,nqkqk1qkn)=
=(ak,npk1,1++ak,1pkn,1+pkn1,1pk1,1pkn,1ak,npk1,2++ak,1pkn,2+pkn1,2pk1,2pkn,2ak,npk1,n++ak,1pkn,n+pkn1,npk1,npkn,nak,nqk1++ak,1qkn+qkn1qk1qkn)=
=(pk1,1pk2,1pkn1,1pk1,2pk2,2pkn1,2pk1,npk2,npkn1,nqk1qk2qkn1)(ak,n100ak,n1010ak,10011010)=
=Ak1(ak,n100ak,n1010ak,10011010).
Отсюда следует одна важная формула
Ak=i=0k(ai,n100ai,n1010ai,10011010).
Говорят, что иррациональный вектор (1,α1,,αn) раскладывается в бесконечное матричное произведение
(αnαn1α11)=i=0(ai,n100ai,n1010ai,10011010),
если справедливы равенства
limkpk,1qk=α1,,limkpk,jqk=αj,,limkpk,1qk=αn.