Число Пелля

Число Пелля — целое число, входящее в качестве знаменателя вбесконечную последовательность подходящих дробей для квадратного корняиз 2. Эта последовательность приближений начинается следующим образом:11,32,75,1712,4129,11,32,75,1712,4129,,то есть первые числа Пелля — 1, 2, 5, 12 и 29. Числители той жепоследовательности приближений являются половинами сопутствующихчисел Пелля или числами Пелля — Люка — бесконечнойпоследовательностью, начинающейся с 2, 6, 14, 34 и 82.
 Обе последовательности, числа Пелля и сопутствующие числа Пелля, могутбыть вычислены с помощью рекуррентного соотношения, похожего на формулыдля чисел Фибоначчи, и обе последовательности чисел растутэкспоненциально, пропорционально степени серебряного сечения1+21+2.
 Кроме использования в цепной дроби приближений к квадратному корню издвух, числа Пелля могут быть использованы для поиска квадратныхтреугольных чисел и для решения некоторых комбинаторных задачперечисления.
 Последовательность чисел Пелля известна с древних времен. Как иуравнение Пелля, числа Пелля ошибочно приписаны Леонардом Эйлером ДжонуПеллю. Числа Пелля — Люка названы в честь Эдуарда Люка, который изучалэти последовательности. И числа Пелля, и сопутствующие числа Пелля,являются частными случаями последовательностей Люка.

ЧислаПелля


 Числа Пелля задаются линейным рекуррентным соотношением:

Pn={0,n=0;1,n=12Pn1+Pn2,n>1Pn=0,n=0;1,n=12Pn1+Pn2,n>1
 и являются частным случаем последовательности Люка.
 Первые несколько чисел Пелля

 , 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, \ldots .
 Числа Пелля можно выразить формулой

Pn=(1+2)n(12)n22.Pn=(1+2)n(12)n22.
 Для больших значений n член (1+2)n(1+2)nдоминирует в этом выражении, так что числа Пелля примернопропорциональны степеням серебряного сечения (1+2)(1+2),аналогично тому, как числа Фибоначчи примерно пропорциональны степенямзолотого сечения.
 Возможно и третье определение — в виде матричной формулы

(Pn+1PnPnPn1)=(2110)n.(Pn+1PnPnPn1)=(2110)n.
 Многие тождества могут быть доказаны из этих определений, напримертождество, аналогичное тождеству Кассини для чисел Фибоначчи,

Pn+1Pn1P2n=(1)n,Pn+1Pn1P2n=(1)n,
 как немедленное следствие матричной формулы (подставляя определителиматриц слева и справа).

Приближение к квадратному корню издвух


 Файл:Pelloctagons.svg\textbarthumb\textbar300px\textbarРациональноеприближение к правильным восьмиугольникам, с координатами из чиселПеллярациональных приближений к квадратному корню из 2. Если два большихцелых x и y дают решение уравнения Пелля

x22y2=±1,x22y2=±1,
 то их отношение xyxy дает близкое приближение к22. Последовательность приближений этого вида

1,32,75,1712,4129,9970,1,32,75,1712,4129,9970,
 где знаменатель каждой дроби — число Пелля, а числитель равен суммечисла Пелля и его предшественника в последовательности. Таким образом,приближения имеют вид Pn1+PnPnPn1+PnPn.
 Приближение

25774082577408
 этого типа было известно математикам Индии в третьем—четвертомстолетии до нашей эры. Греческие математики пятого столетия до нашей эрытакже знали об этом приближении. Платон (Plato) ссылается начислители как рациональные диаметры. Во втором столетии нашейэры Теон Смирнский использовал термины сторона и диаметр дляописания знаменателя и числителя этой последовательности.
 Эти приближения могут быть получены из цепной дроби22:

2=1+12+12+12+12+12+.2=1+12+12+12+12+12+.
 Конечная часть цепной дроби дает аппроксимацию в виде чисел Пелля.Например,

577408=1+12+12+12+12+12+12+12.577408=1+12+12+12+12+12+12+12.
 Как писал Кнут (1994), факт аппроксимации числами Пелля22 позволяет использовать их для рациональногоприближения к правильному восьмиугольнику с координатами вершин(±Pi,±Pi+1)(±Pi,±Pi+1) и (±Pi+1,±Pi)(±Pi+1,±Pi). Все вершины этоговосьмиугольника одинаково удалены от центра и формируют почти одинаковыеуглы. Также точки (±(Pi+Pi1),0)(±(Pi+Pi1),0), (0,±(Pi+Pi1))(0,±(Pi+Pi1)) и(±Pi,±Pi)(±Pi,±Pi) формируют восьмиугольник, у которого вершины почтиодинаково удалены от центра и формируют одинаковые углы.

Простые иквадраты


Простым числом Пелля называется число Пелля, являющееся такжепростым. Несколько первых простых чисел Пелля

 2, 5, 29, 5741, \ldots
 Как и в случае с числами Фибоначчи, число Пелля PnPn может быть простымтолько если n само просто.
 Имеется всего три числа Пелля, являющимися квадратами, кубами и другимиболее высокими степенями, — это 0, 1 и 169 = 13\textsuperscript2.
 Несмотря на то, что имеется столь мало квадратов и других степеней средичисел Пелля, они имеют близкую связь с квадратными треугольными числами.Эти числа возникают из следующего тождества:

((Pk1+Pk)Pk)2=(Pk1+Pk)2((Pk1+Pk)2(1)k)2.((Pk1+Pk)Pk)2=(Pk1+Pk)2((Pk1+Pk)2(1)k)2.
 Левая часть этого тождества даёт квадратное число, в то время как праваячасть даёт треугольное число, так что в результате получим квадратноетреугольное число.
 Сантана (Santana) и Диац-Барреро (Diaz-Barrero) (2006) доказали другоетождество, связывающее числа Пелля с квадратами, показав, что суммачисел Пелля до P4n+1P4n+1 всегда квадрат:

4n+1i=0Pi=(nr=02r(2n+12r))2=(P2n+P2n+1)2.4n+1i=0Pi=(nr=02r(2n+12r))2=(P2n+P2n+1)2.
 Например, сумма чисел Пелля до P5P5, 0+1+2+5+12+29=490+1+2+5+12+29=49, являетсяквадратом числа P2+P3=2+5=7P2+P3=2+5=7.
 Числа P2n+P2n+1P2n+P2n+1, образующие квадратные корни таких сумм,

 1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47 321, \ldots ,
 известны как простые числа Ньюмена — Шэнкса — Уильямса.

Пифагоровытройки


 Если прямоугольный треугольник имеет стороны a, b,c (по теореме Пифагораa\textsuperscript2+b\textsuperscript2=c\textsuperscript2),то (a,b,c) известны как пифагоровы тройки. Мартин(Martin) (1875) пишет, что числа Пелля могут быть использованы дляформирования пифагоровых троек, в которых a и b отличаютсяна единицу, что соответствует почти равнобедренному прямоугольномутреугольнику. Каждая такая тройка имеет вид

(2PnPn+1,P2n+1P2n,P2n+1+P2n=P2n+1).(2PnPn+1,P2n+1P2n,P2n+1+P2n=P2n+1).
 Последовательность пифагоровых троек, полученного таким способом

 (4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), \ldots.

Числа Пелля —Люка


Сопутствующие числа Пелля или числа Пелля — Люкаопределяются линейным рекуррентным соотношением:

Qn={2,n=02,n=12Qn1+Qn2,n>1Qn=2,n=02,n=12Qn1+Qn2,n>1
 То есть, первые два числа в последоваетльности равны 2, а все остальныеформируются как сумма удвоенного предыдущего числа Пелля — Люка ипредшествующего ему, или, что эквивалентно, сложением следующего числаПелля и предыдущего числа. Так, сопровождающим для 82 является число 29,и 82 = 2 · 34 + 14 = 70 + 12.
 Сопутствующие числа Пелля образуют последовательность:

 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, \ldots
 Сопутствующие числа Пелля можно выразить формулой:

Qn=(1+2)n+(12)n.Qn=(1+2)n+(12)n.
 Все эти числа чётны, каждое из них является удвоенным числителем вприближении рациональными числами к 22.

Вычисления исвязи


 Следующая таблица даёт несколько первых степеней серебряного сеченияδ=δS=1+2δ=δS=1+2 и связанного с ним ˉδ=12δ¯=12.
nnHnHnPnPntt+1sabc
010
111121101
232896345
375495035212029
41712288289204119120169
54129168116821189697696985
69970980098016930405940605741

ТриплетыПифагора


 Равенство c2=a2+(a+1)2=2a2+2a+1c2=a2+(a+1)2=2a2+2a+1 верно только при 2c2=4a2+4a+22c2=4a2+4a+2,что превращается в 2P2=H2+12P2=H2+1 при подстановкеH=2a+1 and P=cH=2a+1 and P=c. Тогда n-ым решением являетсяan=H2n+112an=H2n+112 и cn=P2n+1.cn=P2n+1.
 Таблица выше показывает, что с точностью до порядка anan и bn=an+1bn=an+1равны HnHn+1HnHn+1 и 2PnPn+12PnPn+1 , в то время какcn=Hn+1Pn+Pn+1Hn.cn=Hn+1Pn+Pn+1Hn.