Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Формула суммирования Абеля

Формула суммирования Абеля, введённая норвежским математикомНильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценкисумм конечных и бесконечных рядов.

Формула


 Пусть an — последовательность действительных или комплексных чисели f(x) — непрерывно дифференцируемая на луче [1,x) функция.Тогда

1nxanf(n)=A(x)f(x)x1A(u)f(u)du
 где

A(x):=0<nxan.
 Для доказательства представим обе части равенства как функции от x.Во-первых, заметим, что при x=1 равенство верно (интеграл обращается вноль). Во-вторых, при нецелых x обе части можно продифференцировать,получив верное равенство. Наконец, при целом x левая часть имеетскачок axf(x), такой же скачок имеет функция A(x)f(x), а интегралнепрерывен, то есть имеет скачок равный нулю. Таким образом, формуладоказана для всех x1.
 Если частичные суммы ряда an ограничены, аlimxf(x)=0, то предельным переходом можнополучить следующее равенство
n=1anf(n)=+1A(u)f(u)du
 В общем случае,

x<nyanf(n)=A(y)f(y)A(x)f(x)yxA(u)f(u)du.

Примеры


ПостояннаяЭйлера-Маскерони


 Для an=1 и f(x)=1x, легко видеть, чтоA(x)=x, тогда

xn=11n=xx+x1uu2du=xx+ln(x)x1{u}u2du
 перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражениедля постоянной Эйлера-Маскерони:
 *: γ=11{u}u2du, где{t} — дробная часть числа t.

Представление дзета-функцииРимана


 Для an=1 и f(x)=1xs, аналогичноA(x)=x, тогда

11ns=s1uu1+sdu=s(1uu1+sdu1{u}u1+sdu)=1+1s1s1{u}u1+sdu.
 Эту формулу можно использовать для определения дзета-функции в области(s)>0, поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Крометого, из неё следует, что ζ(s) имеет простой полюс с вычетом 1 вточке s = 1.
 Категория:Теория чисел