Аксиомы Пеано

Аксиомы Пеано — одна из систем аксиом для натуральных чисел,введённая в XIX веке итальянским математиком Джузеппе Пеано.
 Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику, доказать многиесвойства натуральных и целых чисел, а также использовать целые числа дляпостроения формальных теорий рациональных и вещественных чисел. Всокращённом виде аксиомы Пеано использовались в ряде метаматематическихразработок, включая решение фундаментальных вопросов онепротиворечивости и полноте теории чисел.
 Изначально Пеано постулировал девять аксиом. Первая утверждаетсуществование по меньшей мере одного элемента множества чисел. Следующиечетыре — общие утверждения о равенстве, отражающие внутреннюю логикуаксиоматики и исключённые из современного состава аксиом, как очевидные.Следующие три — аксиомы на языке логики первого порядка о выражениинатуральных чисел через фундаментальное свойство функции следования.Девятая и последняя аксиома на языке логики второго порядка — опринципе математической индукции над рядом натуральных чисел.Арифметика Пеано — система, получаемая заменой аксиомыиндукции системой аксиом на языке логики первого порядка и добавлениемсимволов операций сложения и умножения.

Онеполноте


 Как следует из теоремы Гёделя о неполноте, существуют утверждения онатуральных числах, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть, исходяиз аксиом Пеано. Некоторые такие утверждения имеют достаточно простуюформулировку, например теорема Гудстейна.

Формулировки


Словесная



  1. 0 является натуральным числом;
  2. Число, следующее за натуральным, тоже является натуральным;
  3. 0 не следует ни за каким натуральным числом;
  4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
  5. (Аксиома индукции.) Если какое-либо предложение доказано для 0 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предположение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая


 Математическая формулировка использует S(x), которая сопоставляетчислу x следующее за ним число.

  1. 0N;
  2. xNS(x)N;
  3. xN:(S(x)=0);
  4. (S(b)=aS(c)=a)b=c;
  5. P(0)n(P(n)P(S(n)))n\N(P(n)).

 Возможна и иная форма записи:

  1. 0N;
  2. S:NN{0};
  3. \existS1;
  4. 0MnN(nMS(n)M)NM.

 Последнее утверждение может быть сформулировано так: если некотороевысказывание P верно для n=0 (база индукции) и для любого n придопущении, что из верности P(n) следует верность и P(n+1)(индукционное предположение), то P(n) верно для любых натуральных n.
 Заметим, что иногда натуральный ряд начинают с единицы, а не с нуля, вэтом случае в определениях выше 0 заменяется на 1.

Формализацияарифметики


 Формализация арифметики включает в себя аксиомы Пеано, а также вводитчисло 0 и операции сложения и умножения с помощью следующих аксиом:

  1. x+0=x;
  2. x1+S(x2)=S(x1+x2);
  3. x0=0;
  4. x1S(x2)=x1x2+x1.

История


 Необходимость формализации арифметики не принималась всерьёз допоявления работы Германа Грассмана, который показал в 1860-х, что многиефакты в арифметике могут быть установлены из более элементарных фактов офункции следования и математической индукции. В 1881 году Чарльз СандерсПирс опубликовал свою аксиоматизацию арифметики натуральных чисел.Формальное определение натуральных чисел в 1889 году сформулировалитальянский математик Пеано, основываясь на более ранних построенияхГрассмана, в своей книге «Основания арифметики, изложенные новымспособом» . В 1888 году (за год до Пеано) практически в точностиподобную аксиоматическую систему опубликовал Дедекинд.Непротиворечивость арифметики Пеано в 1936 году Генценом с помощьютрансфинитной индукции до ординала ϵ0. Как следует из второйтеоремы Гёделя о неполноте, это доказательство не может быть проведеносредствами самой арифметики Пеано.