Постоянная Каталана

Постоянная Каталана  — число, встречающееся в различныхприложениях математики — в частности, в комбинаторике. Чаще всегообозначается буквой G, реже — K или C. Она можетбыть определена как сумма бесконечного знакочередующегося ряда:

G=n=0(1)n(2n+1)2=112132+152172+
 Её численное значение приблизительно равно:

G = 0.915 965 594 177 219 015 054 603 514 932 384 110 774\ldots
 Неизвестно, является ли G рациональным или иррациональным числом.
 Постоянная Каталана была названа в честь бельгийского математика ЭженаШарля Каталана .

Связь с другимифункциями


 Постоянная Каталана является частным случаем бета-функции Дирихле:

G=β(2).
 Она также соответствует частному значению функции Клаузена, котораясвязана с мнимой частью дилогарифма

G=Cl2(π/2)=Im(Li2(eiπ/2))=Im(Li2(i)).
 Кроме этого, она связана со значениями тригамма-функции (частный случайполигамма-функции) дробных аргументов

ψ1(14)=π2+8G,


ψ1(34)=π28G,
 так что

G=116[ψ1(14)ψ1(34)].
 Симон Плуффе (Simon Plouffe) нашёл бесконечное множество тождествмежду тригамма-функцией ψ1, π2 и постоянной КаталанаG.
 Постоянная Каталана также может быть выражена через частные значенияG-функции Барнса и гамма-функции :

G=4πln(G(38)G(78)G(18)G(58))+4πln(Γ(38)Γ(18))+π2ln(1+22(22)).

Интегральныепредставления


 Ниже приведены некоторые интегральные представления постоянной КаталанаG через интегралы от элементарных функций:

G=01lnt1+t2dt,


G=010111+x2y2dxdy,


G=120π/2tsintdt,


G=01arctanxxdx,


G=120xcoshxdx.
 Она также может быть представлена через интеграл от полногоэллиптического интеграла первого рода K(x),

G=1201K(x)dx.

Быстро сходящиесяряды


 Следующие формулы содержат быстро сходящиеся ряды, и их удобноиспользовать для численных вычислений:

G=π8ln(3+2)+38n=0(n!)2(2n)!(2n+1)2.
 и
 :\{\textbar \textbar- \textbarG=\textbar3n=0124n(12(8n+2)2+122(8n+3)2123(8n+5)2+123(8n+6)2124(8n+7)2+12(8n+1)2) \textbar- \textbar\textbar2n=01212n(124(8n+2)2+126(8n+3)2129(8n+5)21210(8n+6)21212(8n+7)2+123(8n+1)2) \textbar\}
 Теоретическое обоснование использования рядов такого типа было даноСринивасой Рамануджаном (Srīnivāsa Rāmānujan Iyengar) для первойформулы и Дэвидом Бродхёрстом (David J. Broadhurst) для второйформулы. Алгоритмы быстрого вычисления постоянной Каталана былипостроены Е. А. Карацубой.

Вычисление десятичныхцифр


 Число известных значащих цифр постоянной Каталана G значительновыросло за последние десятилетия, благодаря как увеличению компьютерныхмощностей, так и улучшению алгоритмов.
ДатаКоличество значащих цифрАвторы вычисления
186514Эжен Шарль Каталан
187720Джеймс Уитбред Ли Глейшер
191332Джеймс Уитбред Ли Глейшер
1990Greg J. Fee
1996Greg J. Fee
1996, 14 августаGreg J. Fee \Simon Plouffe
1996, 29 сентябряThomas Papanikolaou
1996Thomas Papanikolaou
1997Patrick Demichel
1998, 4 январяXavier Gourdon
2001Xavier Gourdon \Pascal Sebah
2002Xavier Gourdon \Pascal Sebah
2006, октябрьShigeru Kondo \Steve Pagliarulo
2008, августShigeru Kondo \Steve Pagliarulo
2009, 31 январяAlexander J. Yee \Raymond Chan
2009, 16 апреляAlexander J. Yee \Raymond Chan