Processing math: 100%

Константа Ландау Рамануджана

 В математике Константа Ландау — Рамануджана являетсярезультатом теории чисел о плотности сумм двух квадратов целых чисел начисловой оси. Эта теорема была доказана независимо Эдмундом Ландау иСринивасой Рамануджаном.

Теорема о плотности сумм двухквадратов


 Если N(x) число целых на отрезке [1,x], которые являются суммойдвух квадратов целых чисел, то

N(x)=Cxln(x)(1+o(1)),
 где C — константа пропорциональности Ландау — Рамануджана

C=limxN(x)ln(x)x0,76422365358922066299069873125.

Точность приближения целого суммой двухквадратов


 Из теоремы Ландау — Рамануджана следует, что ошибка приближения целогочисла суммой двух квадратов целых не менееln(x)2C(1+o(1)). Известная сегодня (2013) тривиальнаяоценка ошибки такого приближения сверху существенно больше —O(x1/4). Со времен Эйлера существует гипотеза о том, что

minu,w\Z|xu2w2|xε,
 где ε>0,ε — любое,xx1(ε).
 Данная задача является обобщением проблемы Варинга.

Критерий возможности точногопредставления


 Число a представимо в виде s2+t2=a (s и t - целые) тогда итолько тогда, когда все простые числа вида 4k+3 входят в каноническоеразложение числа с чётной степенью.
 Этот результат впервые был получен Ферма, а доказан Эйлером.