Восьмая проблема Гильберта

Восьмая проблема Гильберта — одна из проблем, поставленныхДавидом Гильбертом в его докладе на II Международном Конгрессематематиков в Париже в 1900 году. Восьмая проблема Гильберта состоит издвух задач, относящихся к теории простых чисел. Это гипотеза Римана ипроблема Гольдбаха.

ГипотезаРимана


 Гипотеза Римана и утверждает, что все нетривиальные нулидзета-функции имеют действительную часть, равную ${1\over2$. Многиеутверждения о распределении простых чисел доказаны в предположениисправедливости гипотезы Римана. В настоящее время (2016 год) она недоказана и входит в список семи проблем тысячелетия.

ПроблемаГольдбаха


 Проблема Гольдбаха состоит из двух гипотез.
 Бинарная гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое чётное число, начинаяс 4, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
 Более слабая тернарная гипотеза Гольдбаха утверждает, что любое нечётноечисло, начиная с 7, можно представить в виде суммы трёх простых чисел.
 Из справедливости бинарной гипотезы вытекает справедливость тернарнойгипотезы Гольдбаха, но в настоящее время бинарная гипотеза Гольдбаха недоказана. Виноградов в 1937 году доказал, что почти все чётные числапредставимы в виде суммы двух простых чисел (доля непредставимых, еслиони есть, стремится к нулю при росте длины рассматриваемого отрезка). Изсправедливости доказанной тернарной гипотезы Гольдбаха вытекает, чтолюбое чётное число — сумма не более чем 4 простых чисел.
 Виноградов в 1937 году доказал справедливость тернарной гипотезыГольдбаха для всех чисел больших некоторой константы. Однако нижняяграница оказалось настолько большой, что проверить остальные числа спомощью компьютера в XX веке не удалось. Для всех чисел теорема быладоказана только в 2013 году Харальдом Гельфготтом