Гипотеза Эйлера

Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числаn>2 никакую n-ю степень натурального числа нельзя представитьв виде суммы (n1) n-х степеней других натуральных чисел. То естьуравнения:


 \{begin\{matrix\} a\^3+b\^3=c\^3\{\{ a\^4+b\^4+c\^4=d\^4\{\{ a\^5+b\^5+c\^5+d\^5=e\^5\{\{ \{dots\{\{\{sum\{limits\_\{k=1\}\^\{n-1\} a\_k\^n= a\_n\^n \{end\{matrix\} не имеют решения в натуральныхчислах.
 Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великойтеоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Такимобразом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.

Контрпримеры


 === n = 5 === В 1966 году Л. Ландер , Т. Паркин и Дж.Селфридж нашли первый контрпример для n = 5:

275+845+1105+1335=1445.
 === n = 4 ===
 В 1986 году нашёл контрпример для случая n = 4:

26824404+153656394+187967604=206156734.
 В 1988 году Роджер Фрай нашёл наименьший контрпример для n =4:

958004+2175194+4145604=4224814.

Обобщения


 В 1966 году Л. Д. Ландер , Т. Р. Паркин и Дж. Селфридж высказалигипотезу, что если i=1naik=j=1mbjk, гдеaibj — положительные целые числа,i=1,n¯,j=1,m¯, то m+nk.
 В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы,что если i=1naik=bk, то nk1.
 Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенствуi=1naik=j=1mbjk, где aibj,называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решенийдля различных значений параметров k, n, mзанимаются проекты распределённых вычислений EulerNet и yoyo@home.