Круги Форда

Круги Форда — круги с центрами в точках с координатами(p/q,1/(2q2)) и радиусами 1/(2q2), где p/q — несократимаядробь. Каждый круг Форда касается горизонтальной оси y=0, и любые двакруга либо касаются друг друга, либо не пересекаются.

История


 Круги Форда — особый случай взаимно касающихся кругов. Системы взаимнокасающихся окружностей изучал Аполлоний Пергский, в честь которогоназваны задача Аполлония и сетка Аполлония. В XVII веке Декарт доказалтеорему Декарта — соотношение между обратными радиусами взаимнокасающихся окружностей.
 Круги Форда названы в честь американского математика , писавшего о нихв 1938 году.

Свойства


 Круг Форда, соответствующий дроби p/q, обозначается как C[p/q] илиC[p,q]. Каждому рациональному числу соответствует круг Форда. Крометого, полуплоскость y1 тоже можно считать вырожденным кругомФорда бесконечного радиуса, соответствующим паре чисел p=1,q=0.
 Любые два различных круга Форда либо не пересекаются вовсе, либокасаются друг друга. Ни у каких двух кругов Форда не пересекаютсявнутренние области, несмотря на то что в каждой точке на оси абсцисс,имеющей рациональную координату, эту ось касается один круг Форда. Если$0


  1. круги C[r/s], где |psqr|=1,
  2. круги C[r/s], где дроби r/s соседствуют с p/q в каком-либо ряде Фарея, или
  3. круги C[r/s], где r/s — ближайший меньший или ближайший больший предок p/q в дереве Штерна — Броко, либо p/q — ближайший меньший или больший предок r/s.

 Круги Форда также можно рассматривать как области на комплекснойплоскости. Модулярная группа преобразований комплексной плоскостиотображает круги Форда в другие круги Форда.
 Если интерпретировать верхнюю половину комплексной плоскости как модельгиперболической плоскости (модель Пуанкаре на полуплоскости), то кругиФорда можно интерпретировать как замощение гиперболической плоскостиорициклами. Любые два круга Форда конгруэнтны в гиперболическойгеометрии. Если C[p/q] и C[r/s] — касающиеся круги Форда, тополуокружность, проходящая через точки (p/q,0) и (r/s,0) иперпендикулярная оси абсцисс, — это гиперболическая прямая, проходящаятакже через точку касания двух кругов Форда.
 Круги Форда составляют подмножество кругов, из которых состоит сеткаАполлония, заданная прямыми y=0 и y=1 и окружностью C[0/1].

Общая площадькругов


 Имеется связь между общей площадью кругов Форда, функцией Эйлераφ, дзета-функцией Римана и постоянной Апери ζ(3).Поскольку никакие два круга Форда не пересекаются по внутренним точкам,то немедленно получаем, что суммарная площадь кругов
{C[p,q]:0pq1}
меньше 1. Эта площадь даётся сходящейся суммой, которая может бытьвычислена аналитически. По определению, искомая площадь равна
A=q1(p,q)=11p<qπ(12q2)2.

 Упрощая это выражение, получаем
A=π4q11q4(p,q)=11p<q1=π4q1φ(q)q4=π4ζ(3)ζ(4),

 где последнее равенство использует формулу для ряда Дирихлес коэффициентами, даваемыми функцией Эйлера. Посколькуζ(4)=π4/90, в итоге получаем
A=452ζ(3)π30.872284041.