Гармоническое число

 В математике nгармоническим числом называется суммаобратных величин первых n последовательных чисел натуральногоряда:

Hn=k=1n1k=1+12+13++1n.
 Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.
 Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важноезначение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, вчастности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Альтернативныеопределения



  • Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:
      \{begin\{cases\}

 \texttt H\_n = H\_\{n-1\} + \{frac\{1\}\{n\} \{\{\\\texttt H\_1 = 1
 \{end\{cases\}

  • Также верно соотношение:
    Hn=γ+ψ(n+1)=Γ(n)Γ(n)+1n+γ,
      где ψ(n) — дигамма-функция, γ=ψ(1) — постоянная Эйлера — Маскерони.
  • Еще одно соотношение:
    Hn=k=1n(nk)(1)k+1k

Дополнительныепредставления


 Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычислениягармонических чисел (в том числе и в точках, отличных от точекнатурального ряда):

  • интегральные представления:
    Hx=011+tx1+tdt,Re(x)>1
    Hx=01etx1+etdt,Re(x)>1;


  • предельные представления:
    Hx=limn(ln(n)k=0n1x+k+1)+γ
    Hx=xk=01(k+1)(x+k+1);


  • разложение в ряд Тейлора в точке x=0:
    Hx=k=1(1)k+1ζ(k+1)xk=ζ(2)xζ(3)x2+ζ(4)x3ζ(5)x4+,
      где ζ(x) — дзета-функция Римана;


  • асимптотическое разложение:
    Hx=γ+ln(x)+12x112x2+1120x41252x6+1240x81132x10+.

Производящаяфункция


k=1Hkzk=ln(1z)1z

Свойства


Значения от нецелогоаргумента



  • H1/2=22ln2


  • H1/3=33ln32π23


  • H1/4=43ln2π2


  • H1/5=55ln54121+25π52lnφ,


 где φ — золотое сечение.

  • H\_\{1/7\} = 7 - \{ln14 - \{frac\{\{pi\}\{2\} \{mathrm\{ctg\}\{frac\{\{pi\}\{7\}

 \texttt - 2 \{cos\{left(\{frac\{ \{pi\}\{ 7\}\{right) \{ln\{left(\{cos\{frac\{ \{pi\}\{14\}\{right) + 2 \{sin\{left(\{frac\{3\{pi\}\{14\}\{right) \{ln\{left(\{sin\{frac\{ \{pi\}\{ 7\}\{right)\\\texttt - 2 \{sin\{left(\{frac\{ \{pi\}\{14\}\{right) \{ln\{left(\{cos\{frac\{3\{pi\}\{14\}\{right)

Суммы, связанные с гармоническимичислами



  • k=1nHk=(n+1)Hnn=(n+1)(Hn+11)
  • k=1Hkk=
  • k=1Hkk2=2ζ(3)
  • k=1Hkk3=12ζ(2)2=54ζ(4)=π472
  • k=1Hkk4=3ζ(5)ζ(2)ζ(3)=3ζ(5)π26ζ(3)

Тождества, связанные с гармоническимичислами



  • (Hn)3=i=1nj=1nk=1n1ijk
  • i=1nj=1n1k=j+111ijk=12Hn(Hn2ζn(2)), где ζn(2)=k=1n1k2
  • ζn(2)=(Hn)2k=1n12Hkk+11, где ζn(2)=k=1n1k2
  • Hn2+1=(Hn)2+k=1n1(H(k+1)212Hkk+1Hk2)

Приближенноевычисление


 С помощью формулы суммирования Эйлера-Маклорена получаем следующуюформулу:

Hn=lnn+γ+12n+k=1mB2k2kn2kθm,nB2m+2(2m+2)n2m+2,
 где 0<θm,n<1, γ — постоянная Эйлера, которую можновычислить быстрее из других соображений, а Bk — числа Бернулли.

Теоретико-числовыесвойства



  • Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа p>3 выполняется сравнение:
    Hp10(modp2).

Приложения


 В 2002 году Lagarias доказал, что гипотеза Римана о нулях дзета-функцииРимана эквивалентна утверждению, что неравенство

σ(n)Hn+ln(Hn)eHn
 верно при всех целых n1 со строгим неравенством при n>1, гдеσ(n) — сумма делителей числа n.