Processing math: 100%

Гипервещественное число

Гипервещественные числа или гипердействительные числа— расширение поля вещественных чисел R, которое содержитчисла, большие, чем все представимые в виде конечной суммы
1+1++1.

 Термин был введен Хьюиттом в 1948..

Формальноеопределение


 Система гипервещественных представляет собой строгий методисчисления бесконечных и бесконечно малых величин. Множествогипервещественных чисел *R представляет собой упорядоченноеполе, расширение поля вещественных чисел R, которое содержитчисла, большие, чем все представимые в виде: 1+1++1.Каждое такое число бесконечно велико, а обратное ему бесконечно мало.
 Гипервещественные числа удовлетворяют принципу переноса — строгомуварианту эвристического Лейбница. Принцип переноса утверждает, чтоутверждения в логике первого порядка об R справедливы и для*R. Например, правило аддитивности х + у = у + х, справедливодля гипервещественных чисел так же, как и для вещественных. Принциппереноса для ультрастепеней является следствием теоремы Лося (1955).
 Изучение бесконечно малых величин восходит к древнегреческому математикуЕвдоксу Книдскому, который использовал для их исчисления другие методы,в частности, метод исчерпывания. В 1960 году А. Робинсон доказал, чтополе вещественных чисел может быть расширено до множества, содержащегобесконечно малые и бесконечно большие величины в том смысле, какойвкладывали в эти понятия Лейбниц и другие математики XVIII века.
 Применение гипервещественных чисел и, в частности, принципа переноса, взадачах математического анализа называется нестандартным анализом. Однимиз непосредственных приложений является определение основных понятийанализа, таких как производной и интеграла напрямую, без использованияперехода к пределу или сложных логических конструкций. Так, производнаяF(X) становитсяf(x)=st(f(x+Δx)f(x)Δx) длябесконечно малого Δx, где st(·) означает стандартнуючасть числа, которая связывает каждое конечное гипервещественное число сединственным вещественным, бесконечно близким к нему.

Поле гипервещественныхчисел


 Положим, что X является тихоновским пространством, которое такженазывается T3.5 пространством, а С (Х)-алгебранепрерывных вещественных функций на X. Пусть М есть максимальный идеал вС (Х). Тогда факторкольцо A = C (X) / М, является, по определению,действительной алгеброй и может быть рассмотрена как линейноупорядоченное множество. Если F строго содержит R, то М называетсягипервещественным идеалом (по терминологии Хьюитта,1948), а F —гипервещественным полем. Отметим, что данное предположение не означает,что мощность поля F больше, чем у поля R, они могут на самом деле иметьодинаковую мощность.
 Важный частный случай — если пространство X является дискретнымпространством, в этом случае X можно отождествить с мощностью множестваκ и C(X) с вещественной алгеброй Rκ функций κ отR. Гипервещественные поля, которые мы получаем в этом случае,называются R и идентичны ультрастепеням, построенным черезсвободные ультрафильтры в общей топологии.