Processing math: 100%

Идеальный цифровой инвариант

Идеальный цифровой инвариант (ИЦИ, ) (известен также под именемчисло Мюнхаузена) — это натуральное число, равное , каждаяцифра возводится в степень, равную этой цифре.
n=ddkk+ddk1k1++dd22+dd11.

 0 и 1 являются ИЦИ по любому основанию (при соглашении, что0\textsuperscript0 = 0). Кроме 0 и 1, существует только два ИЦИ вдесятичной системе, 3435 и 438579088 . Заметим, что второе из этихчисел является ИЦИ только при соглашении, что 0\textsuperscript0 = 0,но это стандартное соглашение в этой области.
33+44+33+55=27+256+27+3125=3435


44+33+88+55+77+99+00+88+88



=256+27+16777216+3125+823543+387420489+0+16777216+16777216=438579088

 Более обще, существует конечное число ИЦИ по любому основанию. Это можнодоказать следующим образом:

 Пусть дано основание b. Любой ИЦИ n по основанию b равно суммецифр и каждая цифра возведена в степень, равную этой цифре. Эта суммаменьше либо равна a(b1)b1, где a — число цифр в n,поскольку b1 является наибольшей возможной цифрой по основанию b.Тогда,
a(b1)b1nba1.

 Выражение a(b1)b1 растёт линейно от a, а выражение ba1растёт экспоненциально от a. Так что существует некоторое число k>0,такое, что
 $$\forall a\geq k,\,\, a(b-1)^{b-1} Существует конечное число натуральных чисел n, имеющих менее k цифр,так что существует конечное число натуральных чисел n, удовлетворяющихпервому неравенству. Таким образом, существует конечное число ИЦИ пооснованию b.
 Ниже нижний индекс у числа показывает основание счисления.
 По всем основаниям 1 является ИЦИ.\\По основанию 3 существует 2 ИЦИ, аименно 123 и 223. (510 и810)\\По основанию 4 существует 2 ИЦИ, а именно1314 и 3134 (2910 и5510)\\По основанию 6 существует 2 ИЦИ, а именно223526 и 234526 (316410и 341610)\\По основанию 7 существует 1 ИЦИ, а именно134547 (366510)\\По основанию 9существует 3 ИЦИ, а именно 319, 1562629и 16565479 (2810,9644610 и 92336210)\\ При соглашении00=0 следующие числа являются ИЦИ
 По всем основаниям 0 является ИЦИ.\\По основанию 4 существует одиндополнительный ИЦИ, а именно 1304(2810)\\По основанию 5 существует 2 ИЦИ, а именно1035 и 20245 (2810 и26410)\\По основанию 8 существует 2 ИЦИ, а именно4008 и 4018 (25610 и25710)\\По основанию 9 существует 3 дополнительных ИЦИ,а именно 309, 16470639 и346640849 (2710,917.13910 и 16.871.32310)\\