Гипотеза Малера

Гипотеза Малера — гипотеза метрической теории классификациичисел о величине «меры трансцендентности» почти всех чисел. Быласформулирована К. Малером в 1932 г. Доказана В. Г. Спринджуком в 1965 г.

Формулировка


 Рассмотрим приближения нуля значениями целочисленных полиномовP(x)=a0+a1x++anxn при значениях аргумента ω,являющимися действительными или комплексными числами и при фиксированныхn=1,2,. Назовем высотой полинома величинуh(P)=max(|a0|,|a1|,,|an|) и предположим, что онавозрастает. Обозначим wn(ω,H)=min|P(ω)|. Здесь минимумберется по всем целочисленным полиномам P степени не более n, высотыне более H и с условием P(ω)0. Обозначимwn(ω)=limH¯ln1wn(ω,H)lnHw(\omega) = \overline{\lim_H \to \infty\frac{1nw_n(\omega).Пусть ω — трансцендентное число. Введем обозначения:\Theta_n(\omega) = \frac{1nw_n(\omega) — для вещественныхчисел, \eta_n(\omega) = \frac{1nw_n(\omega) — для комплексныхчисел, Θ(ω)=sup(n)Θn(ω), гдеn=1,2,, η(ω)=sup(n)ηn(ω), гдеn=2,3,.
 Гипотеза Малера утверждает, что Θ(ω)=1,\eta(\omega) = \frac{12.

Доказательство


 Доказательство есть в статье.