Мера иррациональности

Мера иррациональности действительного числа α — этодействительное число μ, показывающее, насколько хорошо αможет быть приближено рациональными числами.

Определение


 Пусть α — действительное число, и пусть M(α) —множество всех чисел μ таких, что неравенство0<|αpq|<1qμ имеет лишьконечное число решений в целых числах p и q>0:

M(α)={μ>0:(q0=q0(μ,α))(p,q\Z)q>q0|αpq|>1qμ\or|αpq|=0}.
 Тогда мера иррациональности μ(α) числа α определяетсякак точная нижняя грань M(α):

μ(α)=infM(α).
 Если M(α)=, то полагают μ(α)=+.
 Другими словами, μ — наименьшее число, такое, что для любогоε>0 для всех рациональных приближений pq сдостаточно большим знаменателем верно, что|αpq|>1qμ+ε.

Возможные значения мерыиррациональности



  • μ(α)=1 тогда и только тогда, когда α — рациональное число.
  • Если α — алгебраическое иррациональное число, то μ(α)=2.
  • Если α — трансцендентное число, то μ(α)2. В частности, если μ(α)=+, то число α называют лиувиллевым числом.

Связь с цепнымидробями


 Если α=[a0;a1,a2,] — разложение числа α вцепную дробь, и pnqn — n-ая подходящая цепная дробь, то

μ(α)=1+lim supn+lnqn+1lnqn=2+lim supn+lnan+1lnqn.
 С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности дляквадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дробипериодичны. Например, для золотого сеченияφ=[1;1,1,], и тогда μ(φ)=2.

Теорема Туэ — Зигеля —Рота


 По лемме Дирихле, если α иррационально, то|αpq|<1q2, то естьμ(α)2. В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема отом, что для любого алгебраического числа α степени n можноподобрать константу c=c(α) такую, что|αpq|cqn. В 1908 году Туэусилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получилиЗигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказанаРотом в 1955 году, полученную теорему называют . Она утверждает, чтоесли α — алгебраическое иррациональное число, тоμ(α)=2. Рот за её доказательство получил Филдсовскую премию.

Мера иррациональности некоторых трансцендентныхчисел


 Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2.Хорошо известно, что μ(e)=2, а числа Лиувилля имеютбесконечную меру иррациональности. Однако для многих другихтрансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшемслучае известна некоторая оценка сверху. Например:

  • μ(e)=2
  • μ(π)7,6063
  • μ(π2)5,162857
  • μ(π3)4,6016
  • μ(ln2)3,57455391
  • μ(ζ(3))5,513891