Характер биквадратичного вычета

Характер биквадратичного вычета – теоретико-числовая функциядвух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета.Также является характером в простом поле.
 Характер биквадратичного вычета является аналогом символа Лежандра, идля его вычисления используется биквадратичный законвзаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение


 Рассмотрим D=Z[i] – кольцо целых гауссовых чисел, то естьчисел вида α=a+bi, где a и b – целые числа.
 Пусть π - простое в кольце D, с нормой Nπ. Характербиквадратичного вычета определяется следующим образом:

  • (απ)4=0, если α делится на π.
  • (απ)4=1, если α не делится на π и Nπ=2.
  • Во всех остальных случаях (απ)4 - одно из значений {1, 1, i, i}, лежащее в классе вычетов α(Nπ1)/4modπ (такое значение однозначно определено).

Биквадратичный законвзаимности


 Назовём α, не являющееся единицей, примарным, если оносравнимо с 1 по модулю идеала ((1+i)3). При этом неединицаα=a+bi примарна тогда и только тогда, когда a1(mod4),b0(mod4) или a3(mod4), b2(mod4).
 Пусть π и θ - взаимно простые примарные элементы в D,тогда \}\}

Другие свойства характера биквадратичноговычета



  • (απ)4=1 тогда и только тогда, когда сравнение x4αmodπ разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда α - биквадратичный вычет
  • Мультипликативность: (αβπ)4=(απ)4(βπ)4
  • Периодичность: если αβmodπ, то (απ)4=(βπ)4
  • Если π=a+bi - простое примарное, то (1π)4=(1)a12

Списоклитературы




 \textbarподзаголовок \textbarзаглавие= Классическое введение всовременную теорию чисел \textbarоригинал= \textbarавтор= АйерлэндК., Роузен М. \textbarгод=1987 \textbarместо= Москва\textbarиздательство=Мир \textbarстраницы= \textbarisbn=\textbarссылка=http://www.ega-math.narod.ru/Books/Ireland.htm\}\}


 \textbarподзаголовок \textbarзаглавие= Reciprocity laws: From Eulerto Eisenstein \textbarоригинал= \textbarссылка= \textbarавтор=Franz Lemmermeyer \textbarгод=2000 \textbarместо= Springer Verlag\textbarиздательство= \textbarстраницы= \textbarisbn=3-540-66957-4\}\}
 Категория:Теория чисел