Число такси

n-ое число такси, обычно обозначаемое Ta(n) илиTaxicab(n), определяется как наименьшее число, которое может бытьпредставлено как сумма двух положительных кубов nразличными способами. Наиболее известное число такси — 1729 = Ta(2) =1\textsuperscript3 + 12\textsuperscript3 = 9\textsuperscript3 +10\textsuperscript3.
 Название числа получили из разговора в 1919 математиков Г. Х. Харди иСриниваса Рамануджана. Харди рассказывал:

Определение


 Концепция впервые была упомянута в 1657 Бернардом Френиклю и сталазнаменитой в начале 20-го века благодаря Сринивасу Рамануджану. В 1938Харди и Райт доказали, что такие числа существуют для всех положительныхцелых чисел n, и их доказательство легко превратить в программудля генерации таких чисел. Однако это доказательство не заботится о том,чтобы это число было ''минимальным , так что его нельзяиспользовать для поиска фактических значений Ta(n'').
 Ограничение на знак членов суммы необходимо, поскольку допущениеотрицательных значений позволяет представить большее количество (именьших) чисел выразить в виде суммы кубов n различнымиспособами. Концепция была предложена как менее ограничивающаяальтернатива. В известном смысле количество слагаемых (два) и степень(куб) также является существенным ограничением. позволяет иметь болеедвух слагаемых и использовать другие степени.

Известные числатакси


 Известны следующие шесть чисел такси :
Ta(1)=2=13+13

Ta(2)=1729=13+123=93+103

Ta(3)=87539319=1673+4363=2283+4233=2553+4143

Ta(4)=6963472309248=24213+190833=54363+189483=102003+180723=133223+166303

Ta(5)=48988659276962496=387873+3657573=1078393+3627533=2052923+3429523=2214243+3365883=2315183+3319543

Ta(6)=24153319581254312065344=5821623+289062063=30641733+288948033=85192813+286574873=162180683+270932083=174924963+265904523=182899223+262243663

Историяоткрытия


 Число Ta(2), известное также как число Харди –Рамануджана,первым опубликовал Бернард Френиклю в 1657.
 Джон Лич получил Ta(3) в 1957. Е. Розенталь, Дж. А. Дардис и К. Р.Розенталь нашли Ta(4) в 1989 . Дж. А. Дардис нашёл Ta(5) в 1994 иподтвердил Дэвид В. Уилсон в 1999 . О числе Ta(6) объявид Уве Холлербахна сайте NMBRTHRY (Number Theory Wiki) 9 марта 2008 . Верхние границыдля чисел Ta(7) — Ta(12) нашёл Христиан Бойер в 2006.

Числа такси безкубов


 Задача чисел такси с более строгими ограничениями, в которой требуется,чтобы числа не содержали кубы, то есть что числа не делились на кубычисел, отличных от 1\textsuperscript3. Тогда число такси Tзаписывается как T =x\textsuperscript3 + y\textsuperscript3, где числаx и y должны быть взаимно просты. Среди чисел такси Ta(n),перечисленных выше, только Ta(1) и Ta(2) не содержат кубов. Наименьшеечисло такси без кубов с тремя вариантами представления обнаружил (неопубликовано) в 1981, когда он был аспирантом. Эти числа

 15170835645

 = 517\textsuperscript3 + 2468\textsuperscript3
 = 709\textsuperscript3 + 2456\textsuperscript3
 = 1733\textsuperscript3 + 2152\textsuperscript3.

 Наименьшее число такси без кубов с тремя вариантами представленияобнаружил Стюарт Гаскойн и, независимо, Дункан Мур в 2003. Это числа

 1801049058342701083

 = 92227\textsuperscript3 + 1216500\textsuperscript3
 = 136635\textsuperscript3 + 1216102\textsuperscript3
 = 341995\textsuperscript3 + 1207602\textsuperscript3
 = 600259\textsuperscript3 + 1165884\textsuperscript3

 .