P адическое число

-адическое число — теоретико-числовое понятие, определяемоедля заданного фиксированного простого числа как элемент расширения полярациональных чисел. Это расширение является пополнением полярациональных чисел относительно -адической нормы, определяемой на основесвойств делимости целых чисел на .
 -адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году.
 Поле -адических чисел обычно обозначается Qp илиQp.

Алгебраическоепостроение


Целые -адическиечисла



agraphСтандартноеопределение
 Целым -адическим числом для заданного простого называется бесконечнаяпоследовательность x={x1,x2,} вычетов xn по модулюpn, удовлетворяющих условию:

xnxn+1(modpn).
 Сложение и умножение целых -адических чисел определяется как почленноесложение и умножение таких последовательностей. Для них непосредственнопроверяются все аксиомы кольца. Кольцо целых -адических чисел обычнообозначается Zp.

agraphОпределение через проективныйпредел
 В терминах проективных пределов кольцо целых p-адических чиселопределяется как предел

limZ/pnZ
 колец Z/pnZ вычетов по модулю pn относительноестественных проекцийZ/pn+1ZZ/pnZ.
 Эти рассмотрения можно провести в случае не только простого числа p,но и любого составного числа m — получится т. н. кольцоm-адических чисел, но это кольцо в отличие от Zp обладаетделителями нуля, поэтому дальнейшие построения, рассматриваемые ниже, кнему неприменимы.

agraphСвойства
 Обычные целые числа вкладываются в Zp очевидным образом:x={x,x,} и являются подкольцом.
 Беря в качестве элемента класса вычетов число an=xnmodpn(таким образом, $0\le a_nканоническим. Записывая каждоеan в an=bnb2b1 и, учитывая, чтоanan+1(modpn), возможно всякое -адическое число вканоническом виде представить в видеx={b1,b2b1,b3b2b1,} или записать в виде бесконечнойпоследовательности цифр в -ичной системе счисленияx={bnb2b1}. Действия над такимипоследовательностями производятся по обыкновенным правилам сложения,вычитания и умножения «столбиком» в -ичной системе счисления.
 В такой форме записи натуральным числам и нулю соответствуют -адическиечисла с конечным числом ненулевых цифр, совпадающих с цифрами исходногочисла. Отрицательным числам соответствуют -адические числа с бесконечнымчислом ненулевых цифр, например в пятеричной системе−1=\ldots4444=(4).

-адическиечисла



agraphОпределение как полячастных
 -адическим числом называется элемент поля частных Qp кольцаZp целых -адических чисел. Это поле называется полем -адическихчисел.

agraphСвойства
 Поле -адических чисел содержит в себе поле рациональных чисел.
 Нетрудно доказать, что любое целое -адическое число некратное обратимо вкольце Zp, а кратное однозначно записывается в виде xpn, гдене кратно и поэтому обратимо, а n>0. Поэтому любой ненулевой элементполя Qp может быть записан в виде xpn, где не кратно , алюбое; если отрицательно, то, исходя из представления целых -адическихчисел в виде последовательности цифр в -ичной системе счисления, мыможем записать такое -адическое число в виде последовательностиx={bkb2b1,b0b1bn+1}, то есть,формально представить в виде -ичной дроби с конечным числом цифр послезапятой и, возможно, бесконечным числом ненулевых цифр до запятой.Деление таких чисел можно также производить аналогично «школьному»правилу, но начиная с младших, а не старших разрядов числа.

Метрическоепостроение


 Любое рациональное число r можно представить как r=pnab гдеa и b целые числа, не делящиеся на p, а n — целое. Тогда|r|p — p-адическая норма r — определяется как pn. Еслиr=0, то |r|p=0.
 Поле p-адических чисел есть пополнение поля рациональных чисел сметрикой dp, определённой p-адической нормой: dp(x,y)=|xy|p.Это построение аналогично построению поля вещественных чисел какпополнения поля рациональных чисел при помощи нормы, являющейся обычнойабсолютной величиной.
 Норма |r|p продолжается по непрерывности до нормы на Qp.

Свойства



  • Каждый элемент поля -адических чисел может быть представлен в виде сходящегося ряда



x=i=n0aipi


  • -адическая норма |x|p удовлетворяет сильному неравенству треугольника



 \textbarx-z\textbar\_p\{le\{max\{\{\textbar


  • Метрическое пространство (Zp,dp) гомеоморфно канторову множеству, а пространство (Qp,dp) гомеоморфно канторову множеству с вырезанной точкой.
  • Для различных нормы |x|p независимы, а поля Qp неизоморфны.
  • Для любых элементов r, r2, r3, r5, r7, \ldots таких, что rR и rpQp, можно найти последовательность рациональных чисел xn таких, что для любого выполнено |xirp|p0 и |xir|0.

Применения



  • Если F(x1,x2,,xn) — многочлен с целыми коэффициентами, то разрешимость при всех сравнения



F(x1,x2,,xn)0(modpk)


 На практике для проверки разрешимости уравнения в целых -адическихчислах достаточно проверить разрешимость указанного сравнения дляопределенного конечного числа значений . Например, согласно , при n=1достаточным условием для разрешимости сравнения при всех натуральныхслужит наличие простого решения у сравнения по модулю (то есть, простогокорня у соответствующего уравнения в поле вычетов по модулю ). Иначеговоря, при n=1 для проверки наличия корня у уравнения в целых-адических числах, как правило, достаточно решить соответствующеесравнение при k=1.

  • p-адические числа находят широкое применение в теоретической физике. Известны p-адические обобщённые функции , p-адический аналог оператора дифференцирования (оператор Владимирова), p-адическая квантовая механика, p-адическая спектральная теория , p-адическая теория струн