Задача Брокара

Задача Брокара — это математическая задача нахождения целыхчисел n, для которых

n!+1=m2,n!+1=m2,
 где n! — факториал. Задача была поставлена Анри Брокаром в статьях1876 и 1885 года и, независимо, в 1913 году Рамануджаном.

ЧислаБрауна


 Пары чисел (n, m), решающие задачу Брокара, носят названиечисла Брауна. Известны только три пары таких чисел:

 (4, 5), (5, 11), и (7, 71).
 Пал Эрдёш высказал предположение, что других решений не существует.Оверхольт показал, что существует лишь конечное число решений приусловии, что abc-гипотеза верна. Берндт и Галвей выполнили вычислениядля n вплоть до 10\textsuperscript9 и не нашли других решений.

Вариантызадачи


 Дабровский обобщил результат Оверхольта, показав, что из abc-гипотезыследует, что

n!+A=k2n!+A=k2
 имеет только конечное число решений для любого заданного числа A.Этот результат далее обобщил Лука, показав (снова в предположенииверности abc гипотезы), что равенство

n!=P(x)n!=P(x)
 имеет лишь конечное число целых значений для заданного многочленаP(x) по меньшей мере второй степени с целымикоэффициентами.