Седьмая проблема Гильберта

Седьмая проблема Гильберта — одна из 23 задач, которые ДавидГильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессематематиков. Задача связана с доказательством и изучениемтрансцендентности и иррациональности некоторых чисел.

Постановказадачи


 Ниже приведена выдержка из доклада Гильберта, посвящённая седьмойпроблеме.

Решение


 Сам Гильберт считал седьмую задачу очень трудной. Карл Зигель приводитцитату Гильберта, в которой тот относит время решения седьмой задачигораздо дальше доказательства гипотезы Римана и теоремы Ферма.
 Тем не менее, частичное решение, относящееся к трансцендентностиотношения основания к боковой стороне равнобедренного треугольника, былополучено А. О. Гельфондом уже в 1929 году, а трансцендентность числа22 была доказана Р. О. Кузьминым в 1930 году. В 1934 годуГельфонд получил окончательное решение задачи: он доказал, что числовида αβ, где α — алгебраическое число, отличноеот 0 и 1, а β — иррациональное алгебраическое число, всегдаявляется трансцендентным (число eπ впоследствии даже получилоназвание постоянной Гельфонда). Немного позднее решение было полученотакже Теодором Шнайдером.