Processing math: 100%

Супернатуральные числа

Супернатуральные числа (иногда также именумыеобобщённые натуральные числа или числа Стейница)являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число ωявляется формальным произведением:

ω=ppnp,
 где p может быть любым простым числом, а каждое np является илинатуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут vp(ω) дляобозначения np. Если не выполняется условие np= и имеетсятолько конечное число ненулевых np, тогда мы получаем полностьюнатуральный ряд чисел. Супернатуральные числа позволяют расширить ряднатуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простыхфакторов, и позволяют делить любое данное простое число ω«бесконечно много», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.
 Не существует естественного пути определить сложение длясупернатуральных чисел, но они могут быть перемноженыppnpppmp=ppnp+mp. Аналогичнымобразом на них распространяется понятие делимости ω1ω2если vp(ω1)vp(ω2) для всех p. Мы можем такжеввести для супернатуральных чисел понятие наименьшее общее кратное инаибольший общий делитель, определив

lcm({ωi})=ppsup(vp(ωi))


gcd({ωi})=ppinf(vp(ωi))
 С помощью этих алгоритмов мы сможем как получить наименьшее общеекратное и наибольший общий делитель для бесконечного количестванатуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру длясупернатуральных чисел.
 Мы также можем распространить обычные p-адические функции насупернатуральные числа, определив vp(ω)=np для каждого p.
 Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексовпроконечных групп, и благодаря этому удалось обобщить на проконечныегруппы многие теоремы о конечных группах.