Целая часть

 В математике, целая часть вещественного числа x —округление x до ближайшего целого в меньшую сторону. Целая часть числатакже называется антье , или пол . Наряду с поломсуществует парная функция — потолок  — округление x доближайшего целого в большую сторону.

Обозначения ипримеры


 Впервые квадратные скобки ([x]) для обозначения целой части числа xиспользовал Гаусс в 1808 году в своём доказательстве закона квадратичнойвзаимности. Это обозначение считалось стандартным, пока Кеннет Айверсонв своей книге «A Programming Language», опубликованной в 1962году, не предложил округление числа x до ближайшего целого в меньшую ибольшую стороны называть «пол» и «потолок» x и обозначатьx и x соответственно.
 В современной математике используются оба обозначения, [x] иx, однако существует тенденция перехода к терминологиии обозначениям Айверсона. Одна из причин этого — потенциальнаянеоднозначность понятия «целая часть числа». Например, целая часть числа2,7 равна 2, но возможны два мнения на то, как определить целую частьчисла −2,7. В соответствии с данным в этой статье определением[x]x=3, однако в некоторых калькуляторахимеется функция целой части числа INT, для отрицательных чиселопределяемая как INT(-x) = -INT(x), так что INT(-2,7) = −2. Втерминологии Айверсона отсутствуют возможные неоднозначности:


 \{begin\{matrix\} \{lfloor 2\{,\}7\{rfloor = 2, \& \{lfloor -2\{,\}7\{rfloor = -3, \{\{\{lceil 2\{,\}7 \{rceil = 3, \&\{lceil -2\{,\}7 \{rceil = -2\{end\{matrix\}

Определения


 Функция пол :xxопределяется как наибольшее целое, меньшее или равное x:

x=max{nZnx}
 Функция потолок:xxопределяется как наименьшее целое, большее или равное x:

x=min{nZnx}
 Эти определения эквивалентны следующим неравенствам (где n —целое число):


 \{begin\{align\} \{lfloor x\{rfloor = n \& \{Longleftrightarrow \& n\{leqslant x \textless n+1 \&\{Longleftrightarrow \& x-1 \textless n\{leqslant x \{\{\{lceil x \{rceil = n \&\{Longleftrightarrow \& n-1 \textless x\{leqslant n \& \{Longleftrightarrow \& x\{leqslant n \textless x+1. \{end\{align\}

Свойства


 В формулах, записанных ниже, буквами x и y обозначены вещественныечисла, а буквами n и m — целые.

Пол и потолок как функции вещественнойпеременной


 Функции пол и потолок отображают множество вещественных чисел вмножество целых чисел:


 \{lfloor \{, \{cdot\{, \{rfloor\{colon\{mathbb\{R\} \{to\{mathbb\{Z\}, \{quad \{lceil\{, \{cdot \{,\{rceil\{colon \{mathbb\{R\}\{to \{mathbb\{Z\}, \{quad
 Пол и потолок — кусочно-постоянные функции.
 Функции пол и потолок разрывны: во всех целочисленных точках терпятразрывы первого рода со скачком, равным единице.
 При этом функция пол является:

  • полунепрерывной сверху и
  • непрерывной справа.

 Функция потолок является:

  • полунепрерывной снизу и
  • непрерывной слева.

Связь функций пол ипотолок


 Для произвольного числа x верно неравенство

xxx
 Для целого x пол и потолок совпадают:

x=xxZx=x
 Если x — не целое, то значение функции потолок на единицу большезначения функции пол:


 \{lceil x \{rceil - \{lfloor x\{rfloor = \{begin\{cases\} 1, \& x\{notin \{mathbb\{Z\}\{\{ 0, \& x \{in\{mathbb\{Z\} \{end\{cases\}
 Функции пол и потолок являются отражениями друг друга от обеих осей:

x=x,x=x

Пол/потолок:неравенства


 Любое неравенство между вещественным и целым числами равносильнонеравенству с полом и потолком между целыми числами


 \{begin\{matrix\} n \{leqslant x \&\{Longleftrightarrow \& n \{leqslant\{lfloor x \{rfloor \& \{qquadx \{leqslant n \& \{Longleftrightarrow \&\{lceil x \{rceil \{leqslant n\{\{ n \textless x \&\{Longleftrightarrow \& n \textless\{lceil x \{rceil \& \{qquad x\textless n \& \{Longleftrightarrow \&\{lfloor x \{rfloor \textless n\{end\{matrix\} Два верхних неравенства являютсянепосредственными следствиями определений пола и потолка, а дванижние — обращение верхних от противного.
 Функции пол/потолок являются монотонно возрастающими функциями:


 x \{leqslant y \{Rightarrow\{lfloor x \{rfloor \{leqslant\{lfloor y \{rfloor , \{quad x\{leqslant y \{Rightarrow\{lceil x \{rceil \{leqslant\{lceil y \{rceil

Пол/потолок:сложение


 Целочисленное слагаемое можно вносить/выносить за скобки пола/потолка

 \{lfloor x + n \{rfloor =\{lfloor x \{rfloor + n ,\{quad
 \texttt        \{lceil  x + n \{rceil =  \{lceil x  \{rceil + n
 Предыдущие равенства, вообще говоря, не выполняются, если обаслагаемых — вещественные числа. Однако и в этом случае справедливынеравенства:


 \{lfloor x \{rfloor + \{lfloory \{rfloor \{leqslant \{lfloorx + y \{rfloor \{leqslant\{lfloor x \{rfloor + \{lfloory \{rfloor + 1 , \{quad\{lceil x \{rceil + \{lceil y\{rceil - 1 \{leqslant \{lceilx + y \{rceil \{leqslant\{lceil x \{rceil + \{lceil y\{rceil

Пол/потолок под знакомфункции


 Имеет место следующее предложение:
 Пусть f(x) — непрерывная монотонно возрастающая функция,определенная на некотором промежутке, обладающая свойством:

f(x)ZxZ
 Тогда


 \{lfloor f(x) \{rfloor =\{lfloor f(\{lfloor x\{rfloor) \{rfloor, \{quad\{lceil f(x) \{rceil = \{lceilf(\{lceil x \{rceil) \{rceilвсякий раз, когда определеныf(x),f(x),f(x).
 В частности,


 \{left \{lfloor\{frac\{x+m\}\{n\} \{right\{rfloor = \{left \{lfloor\{frac\{\{left \{lfloor x\{right \{rfloor + m\}\{n\}\{right \{rfloor ,\{quad\{left \{lceil\{frac\{x+m\}\{n\} \{right\{rceil = \{left \{lceil\{frac\{\{left \{lceil x\{right \{rceil + m\}\{n\}\{right \{rceil если m и n — целыечисла, и n>0.

Пол/потолок:суммы


 Если m,n — целые числа, m>0, то

 n=\{left\{lfloor\{frac\{n\}\{m\}\{right\{rfloor+\{left\{lfloor\{frac\{n+1\}\{m\}\{right\{rfloor+\{dots+\{left\{lfloor\{frac\{n+m-1\}\{m\}\{right\{rfloor
 Вообще, если x — произвольное вещественное число, а m — целоеположительное, то

 \{lfloor mx\{rfloor=\{left\{lfloorx\{right\{rfloor +\{left\{lfloorx+\{frac\{1\}\{m\}\{right\{rfloor+\{dots+\{left\{lfloorx+\{frac\{m-1\}\{m\}\{right\{rfloor
 Имеет место более общее соотношение


 \{sum\_\{0 \{leqslant k \textless m\}\{left \{lfloor\{frac\{nk+x\}\{m\} \{right\{rfloor = d \{left \{lfloor\{frac\{x\}\{d\} \{right\{rfloor + \{frac\{(m-1)(n-1)\}\{2\} +\{frac\{d-1\}\{2\}, \{quad d=(m,n)
 Так как правая часть этого равенства симметрична относительно m и n,то справедлив следующий закон взаимности:


 \{sum\_\{0 \{leqslant k \textless m\}\{left \{lfloor\{frac\{nk+x\}\{m\} \{right\{rfloor = \{sum\_\{0\{leqslant k \textless n\} \{left\{lfloor \{frac\{mk+x\}\{n\}\{right \{rfloor , \{quad m,n\textgreater0

Разложимость вряд


 Тривиальным образом функция антье раскладывается в ряд с помощью функцииХевисайда:


 [x]=\{sum\_\{i=-\{infty\}\^\{+\{infty\}i\{left(\{theta(x-i)-\{theta(x-i-1)\{right),где каждое слагаемое ряда создаёт характерные «ступеньки» функции. Этотряд сходится абсолютно, однако ошибочное преобразование его слагаемыхможет привести к «упрощённому» ряду


 \{sum\_\{i=-\{infty\}\^\{+\{infty\}\{theta\{left(x-i\{right),который расходится.

Применение


 Целочисленные функции пол/потолок находят широкое применение вдискретной математике и теории чисел. Ниже приведены некоторые примерыиспользования этих функций.

Количество цифр в записичисла


 Количество цифр в записи целого положительного числа в позиционнойсистеме счисления с основанием b равно

logbn+1

Округление


 Ближайшее к x целое число может быть определено по формуле

(x)=x+0,5

Бинарная операцияmod


 Операция «остаток по модулю», обозначаемая \mod, может быть определенас помощью функции пола следующим образом. Если x,y — произвольныевещественные числа, и y0, то неполное частное от деления x наy равно

x/y,
 а остаток

xmody=xyx/y

Дробнаячасть


 Дробная часть вещественного числа x по определению равна

{x}=xmod1=xx

Количество целых точекпромежутка


 Требуется найти количество целых точек в замкнутом промежутке с концамиα и β, то есть количество целых чисел n, удовлетворяющийнеравенству

αnβ
 В силу свойств пол/потолка, это неравенство равносильно

αnβ.
 Это есть число точек в замкнутом промежутке с концамиα и β, равноеβα+1.
 Аналогично можно подсчитать количество целых точек в других типахпромежутков. Сводка результатов приведена ниже .


 \{\#\{\{ n \{in\{mathbb\{Z\} \{colon \{alpha\{leqslant n \{leqslant \{beta\{\} = \{lfloor \{beta\{rfloor - \{lceil \{alpha\{rceil + 1


 \{\#\{\{ n \{in\{mathbb\{Z\} \{colon \{alpha\{leqslant n \textless \{beta\{\} = \{lceil \{beta\{rceil - \{lceil \{alpha\{rceil


 \{\#\{\{ n \{in\{mathbb\{Z\} \{colon \{alpha\textless n \{leqslant \{beta\{\} = \{lfloor \{beta\{rfloor - \{lfloor \{alpha\{rfloor


 \{\#\{\{ n \{in\{mathbb\{Z\} \{colon \{alpha\textless n \textless \{beta \{\} =\{lceil \{beta \{rceil -\{lfloor \{alpha \{rfloor - 1(Через #M обозначена мощность множества M).
 Первые три результата справедливы при всех αβ, ачетвёртый — только при α<β.

Теорема Рэлея оспектре


 Пусть α и β — положительные иррациональные числа,связанные соотношением

1α+1β=1.
 Тогда в ряду чисел

α,β,2α,2β,,mα,mβ,
 каждое натуральное nN встречается в точности один раз.Иными словами, последовательности

{mαmN} и{mβmN},
 называемые , образуют разбиение натурального ряда.

Винформатике


В языкахпрограммирования


 Во многих языках программирования существуют встроенные функциипола/потолка \texttt floor, ceil.

В системахвёрстки


 В TeX (и LaTeX) для символов пола/потолка , ,, существуют специальные команды:\texttt\{lfloor, \texttt\{rfloor,\texttt\{lceil, \texttt\{rceil.Поскольку wiki использует LaTeX для набора математических формул, то и вданной статье использованы именно эти команды.