Диофантовы приближения

 Наибольшее целое число меньшее или равное x называется целой частью числа x (обозначается как [x] ).А x=x[x] дробной частью числа x. Расстояние от числа до ближайшегоцелого определяется, как
|x|s=min(x,1x).(1)
Дробь pq,(q>0) называется наилучшим (диофантовым) приближением первого рода к числу α, если длялюбых a и b таких, что 0<bq и pqab, верно
|αpq|<|αab|.
Дробь pq,(q>0) называется наилучшим (диофантовым) приближением второго рода к числу α, если для любых a и b таких, что 0<bq и pqab, верно
|qαp|<|bαa|.
В терминах расстояния последнее условие можно записать как |qα|s<|bα|sВ многомерном случае, рассмотрим матрицу действительных чисел
(α11α12α1mα21α22α2mαn1αn2αnm)
.Целочисленный вектор (p,q)=(p1,p2,,pn,q1,q2,,qm) называется наилучшим (диофантовым) приближением, если для любых целочисленных векторов (a,b)=(a1,a2,,an,b1,b2,,bm) таких, что 0<|bi||qi|,i=1,m¯, верно
(1000α11α12α1m0100α21α22α2m0010αj1αj2αjm0001αn1αn2αnm)(a1a2anb1b2bm)=max1jn(r1(a,b)r2(a,b)rj(a,b)rn(a,b))=
=r(a,b)<r(p,q)=
=max1jn(r1(p,q)r2(p,q)rj(p,q)rn(p,q))=(1000α11α12α1m0100α21α22α2m0010αj1αj2αjm0001αn1αn2αnm)(p1p2ldotspnq1q2ldotsqm)
или же
max1jn(|j=1mα1jbj|s|j=1mα2jbj|s|j=1mαnjbj|s)=r(a,b)<r(p,q)=max1jn(|j=1mα1jqj|s|j=1mα2jqj|s|j=1mαnjqj|s)
Очевидно, что для того чтобы это условие выполнялось, необходимо, чтобы pj было ближайшим целым числом к числуαj1q1+αj2q2+αjmqm.