Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Диофантовы приближения

 Наибольшее целое число меньшее или равное x называется целой частью числа x (обозначается как [x] ).А x=x[x] дробной частью числа x. Расстояние от числа до ближайшегоцелого определяется, как|x|s=min(x,1x).(1)Дробь pq,(q>0) называется наилучшим (диофантовым) приближением первого рода к числу α, если длялюбых a и b таких, что 0<bq и pqab, верно|αpq|<|αab|.Дробь pq,(q>0) называется наилучшим (диофантовым) приближением второго рода к числу α, если для любых a и b таких, что 0<bq и pqab, верно|qαp|<|bαa|.В терминах расстояния последнее условие можно записать как |qα|s<|bα|sВ многомерном случае, рассмотрим матрицу действительных чисел(α11α12α1mα21α22α2mαn1αn2αnm).Целочисленный вектор (p,q)=(p1,p2,,pn,q1,q2,,qm) называется наилучшим (диофантовым) приближением, если для любых целочисленных векторов (a,b)=(a1,a2,,an,b1,b2,,bm) таких, что 0<|bi||qi|,i=¯1,m, верно(1000α11α12α1m0100α21α22α2m0010αj1αj2αjm0001αn1αn2αnm)(a1a2anb1b2bm)=max1jn(r(a,b)1r(a,b)2r(a,b)jr(a,b)n)==r(a,b)<r(p,q)==max1jn(r(p,q)1r(p,q)2r(p,q)jr(p,q)n)=(1000α11α12α1m0100α21α22α2m0010αj1αj2αjm0001αn1αn2αnm)(p1p2ldotspnq1q2ldotsqm)или жеmax1jn(|mj=1α1jbj|s|mj=1α2jbj|s|mj=1αnjbj|s)=r(a,b)<r(p,q)=max1jn(|mj=1α1jqj|s|mj=1α2jqj|s|mj=1αnjqj|s)Очевидно, что для того чтобы это условие выполнялось, необходимо, чтобы pj было ближайшим целым числом к числуαj1q1+αj2q2+αjmqm.