Диофантовы и лиувиллевы числа

 В математике, иррациональное число x называется диофантовым,если при его приближении рациональным числом ошибка составляет не менеенекоторой степени знаменателя:


 \{exists C,\{alpha\textgreater0\{colon\{quad \{forall p\{in\{Z, q\{in\{N\{quad\{left\textbarx-\{frac\{p\}\{q\}\{right\textbar \{geqslant\{frac\{C\}\{q\^\{\{alpha\}\}. В противномслучае, число xx называют лиувиллевым.

Свойства



  • Всякое алгебраическое иррациональное число диофантово. В частности, тем самым, любое лиувиллево число трансцендентно, что позволяет явно строить трансцендентные числа как суммы сверхбыстро сходящихся рядов рациональных чисел.
  • Диофантовы числа метрически типичны: их множество имеет полную меру Лебега.
  • Лиувиллевы числа, напротив, типичны с топологической точки зрения: их множество остаточно.

ПостояннаяЛиувилля


 Классический пример лиувиллева числа — постоянная Лиувилля,определяемая как

k=110k!=0,1100010000000000000000010000k=110k!=0,1100010000000000000000010000