Теорема Дирихле

Теорема.(Дирихле, 1842).Пусть α и Q – произвольные действительные числа, причем Q>1. Тогданайдется целое число q, такое что 1q<Q и
qαs1Q.(1)
Или же, что эквивалентно: существуют целые числа p и q, такие что 1q<Q и
|αpq|1Qq<1q2.(2)
У этой теоремы есть следующие обобщения:Теорема. (Дирихле, 1842).Пусть α1,α2,,αn и Q – произвольные действительные числа,причем Q>1. Тогда найдется целое число q такое, что 1q<Qn и
maxi(qαis)1Q.(3)
Или же, что эквивалентно: существуют целые числа p1,,p2,,pn и q такие,что 1q<Qn и
maxi(|αipq|)1Qq<1q1+1n.(4)
Теорема. (Дирихле, 1842).Пусть α1,α2,,αn и Q – произвольные действительные числа,причем Q>1. Тогда существуют целые числа q1,q2,,qn и p такие, что1max(|q1|,|q2|,,|qn|)<Q1n и
|i=1nαiqip|1Q.(5)
Обе предыдущие теоремы непосредственно следуют из следующей теоремы:Теорема. (Дирихле, 1842).Пусть αij(1in,1jm) и Q – произвольные действительные числа,причем Q>1. Тогда найдутся целые числа q1,q2,,qm и p1,p2,,pnтакие, что \\ 1max(|q1|,|q2|,,|qm|)<Qnm и
|j=1mαijqjpi|1Q(1in).(6)
Доказательство теоремы 1.Докажем справедливость утверждения (1). Несложно заметить, что непостредственноиз него следует неравенство (2).Предположим вначале, что Q – целое. Рассмотрим следующие Q+1 различных чисел:
0,1,{α},{2α},,{(Q1)α}.
Все они принадлежат единичному интервалу 0x1. Разобьем его на Q полуинтервалов:
uQx<u+1Q,u=0,1,,Q2,Q1Qx1.
По принципу Дирихле, хотя бы один из этих полуинтервалов (или интервал [Q1Q;1])содержит два (или более) выше описанных Q+1 чисел. То есть,|{t1α}{t2α}|1Q.Пусть {tiα}=riαsi,i=1,2. Отсюда получим, что
|(r1αs1)(r2αs2)|1Q.
Взяв q=r1r2 и p=s1s2 получим искомое неравенство |qαp|1Q.Тем самым, теорема доказана, когда число Q – целое.Пусть теперь Q – нецелое. Проведем описанное выше доказательство для числа [Q]+1. Из неравенства1q<[Q]+1, очевидно, следует неравенство 1q<Q. То есть, теорема доказана полностью.
Доказательство теоремы 4.Рассмотрим точки n-мерного пространства:
({j=1mα1jxj},{j=1mα2jxj},,{j=1mαnjxj})(7)
где: 0xjQnm. Каждое из выражений αijxj принимает не менее,чем Qnm различных значений. То есть, существует не менее,чем Qn различных точек вида (7). Каждая из этих точек лежит в замкнутом единичном n - мерном кубеUn. Этому кубу также принадлежит точка (1,1,,1).То есть, мы рассматриваем не менее Qn+1 точек.Разделим теперь наш единичный куб на Qn непересекающихся кубов с длиной ребра 1Q.Хотя бы в один из таких кубов, попадет не менее двух точек. Пусть это точки
(j=1mα1jxjy1,j=1mα2jxjy2,,j=1mαnjxjyn),
(j=1mα1jxjy1,j=1mα2jxjy2,,j=1mαnjxjyn)
где (x1,x2,,xm)(x1,x2,,xm). Тогда числаqi=xixi и pj=yjyj удовлетворяют неравенствам (6). Теорема доказана.