Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел

Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел —теорема, устанавливающая, что алгебраические иррациональности не могутслишком хорошо приближаться рациональными числами. А именно: еслиα — алгебраическое число степени n>1, а p и q — любыецелые числа (q0), то имеет место неравенство

|αpq|>Cqn
 где C — положительная константа, зависящая только от α ивыражаемая в явном виде через сопряженные с α величины.
 С помощью этой теоремы Лиувилль впервые построил примеры трансцендентныхчисел. Таким числом является, например, число, представляемое рядом сбыстро убывающими членами, например

ξ=n=112n!.

Обобщения


 При n=2 теорема Лиувилля дает неулучшаемый результат. Для n3теорема Лиувилля неоднократно усиливалась.
 В 1909 году Туэ установил, что для алгебраических чисел α степениn и ν>n2+1 справедливо неравенство

|αpq|>Cqν    (*)
 Зигель улучшил результат Туэ, показав, что последнее неравенствовыполняется при

ν>mins={1,2,,n1}(ns+1+s),где s — целое,
 в частности, при ν>2n. Позже Ф. Дайсон доказалсправедливость этого неравенства при ν>2n. Наконец, К. Ротустановил, что неравенство (*) справедливо при любом ν>2.Результат К. Рота является наилучшим в своем роде, так как любоеиррациональное число ξ, алгебраическое или нет, имеет бесконечномного рациональных приближений p/q, удовлетворяющих неравенству

|ξpq|<1q2.
 Все указанные выше усиления теоремы Лиувиля имеют один существенныйнедостаток — они неэффективны, а именно: методы их доказательства непозволяют установить, каким образом постоянная C=C(α,ν) внеравенстве зависит от величин α и ν.