Теория трансцендентных чисел

Теория трансцендентных чисел — раздел теории чисел, изучающийтрансцендентные числа, то есть числа (вещественные или комплексные),которые не могут быть корнями никакого многочлена с целымикоэффициентами. Например,такие важнейшие константы анализа, как π иe, являются трансцендентными, а 2 не является, поскольку2 есть корень многочлена x22.
 Одна из главных проблем данной теории — выяснить, является ли заданноечисло трансцендентным или нет. Методы и результаты теориитрансцендентных чисел широко применяются при исследовании диофантовыхуравнений.

Трансцендентныечисла


 Согласно основной теореме алгебры, любой ненулевой многочлен с целымикоэффициентами имеет комплексный корень. Другими словами, для любогополинома P(x) с целыми коэффициентами существует комплексное числоα такое, что P(α)=0. Теория трансцендентных чиселрассматривает преимущественно обратный вопрос: дано комплексное числоα; определить, существует ли многочлен P(x) с целымикоэффициентами такой, что P(α)=0. Если доказано, что такогополинома не существует, значит, тем самым доказана трансцендентностьчисла α.
 Совокупность корней всех многочленов с целыми коэффициентами называетсямножеством алгебраических чисел. Например, всякое рациональноечисло mn является алгебраическим как корень многочленаnxm; всевозможные конечные комбинации радикалов произвольной степенииз целых чисел также относятся к алгебраическим числам. Таким образом,все комплексные числа делятся на два непересекающихся класса —алгебраические и трансцендентные. Как выяснилось, трансцендентных чиселв некотором смысле гораздо больше, чем алгебраических (см. ниже).
 В отличие от множества алгебраических чисел, которое является полем,трансцендентные числа не образуют никакой алгебраической структурыотносительно арифметических операций — результат сложения, вычитания,умножения и деления трансцендентных чисел может быть кактрансцендентным, так и алгебраическим числом. Однако некоторыеограниченные способы получить трансцендентное число из другоготрансцендентного существуют.

  1. Если t — трансцендентное число, то t и 1/t также трансцендентны.
  2. Если a — алгебраическое число, а t — трансцендентное, то a±t, at, a/t, t/a трансцендентны.
  3. Если t — трансцендентное число, а n — целое, то tn и tn трансцендентны.

История


Приближение рациональными числами: от Лиувилля доРота


 Понятие трансцендентных чисел, противопоставленныхалгебраическим, восходит к семнадцатому веку, когда Готфрид Лейбницдоказал, что синус не является алгебраической функцией. Болееобстоятельно этот вопрос в 1740-е годы рассмотрел Эйлер он заявил , чтозначение логарифма logab для рациональных чисел a,b не являетсяалгебраическим, за исключением случая, когда b=ac для некоторогорационального c. Это утверждение Эйлера оказалось верным, но не былодоказано вплоть до ХХ века. Эйлеру принадлежат и сами термины:алгебраическое и трансцендентное число (в работе 1775года).
 Первые конкретные примеры трансцендентных чисел указал Жозеф Лиувилль в1840-х годах с помощью непрерывных дробей. Позднее, в 1850-х годах, онсформулировал необходимое условие для того, чтобы число былоалгебраическим; соответственно, если это условие нарушается, то числозаведомо трансцендентно. С помощью такого критерия он описал широкийкласс трансцендентных чисел, получивший название «чисел Лиувилля».Позднее было установлено, что числа Лиувилля образуют на вещественнойчисловой оси всюду плотное множество, имеющее мощность континуума ивместе с тем нулевую меру Лебега.
 Критерий Лиувилля по существу означает, что алгебраические числа немогут быть хорошо аппроксимированы (приближены) рациональными числами(см. Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел). Такимобразом, если число хорошо аппроксимируется рациональными числами, тооно обязано быть трансцендентным. Точный смысл понятия «хорошоаппроксимируется» у Лиувилля следующий: если α являетсяалгебраическим числом степени d2 и ε — любоеположительное число, то неравенство
|αpq|<1qd+ε
можетиметь лишь конечное число рациональных решений p/q. Таким образом, длядоказательства трансцендентности следует убедиться, что при любых d иε>0 существует бесконечно много решений указанногонеравенства.
 В ХХ веке труды Акселя Туэ, Карла Зигеля и Клауса Рота позволилинесколько упростить проверку неравенства Лиувилля, заменив выражениеd+ε сначала на d/2+ε+1, а затем (1955 год) на2+ε. Этот результат, известный как , как полагали, уже неможет быть улучшен, так как проверено, что замена 2+ε напросто 2 даёт ошибочное утверждение. Однако Серж Ленг предложилулучшение версии Рота; в частности, он предположил, чтоq2+ε можно заменить на меньшее выражениеq2ln(q)1+ε.
 Теорема Рота эффективно завершила работу, начатую Лиувиллем, онапозволила математикам доказать трансцендентность многих чисел —например, . Тем не менее данная методика недостаточно сильна, чтобыобнаружить все трансцендентные числа; в частности, онанеприменима к числам e и π.

Вспомогательные функции: от Эрмита доБейкера


 Для анализа таких чисел, как e и π, в девятнадцатом веке былиразработаны другие методы. Указанные две константы, как известно,связаны тождеством Эйлера. Удобным инструментом анализа стали такназываемые , которые имеют много нулей в исследуемых точках. Здесьмного нулей может означать буквально большое число нулей, иливсего один ноль, но с высокой кратностью, или даже множество нулей свысокой кратностью каждый.
 Шарль Эрмит в 1873 году, чтобы доказать трансцендентность e,использовал вспомогательные функции, аппроксимирующие функцию ekxдля каждого натурального числа k. В 1880-е годы результаты Эрмита былииспользованы Фердинандом фон Линдеманом для того, чтобы доказать: еслиα — ненулевое алгебраическое число, то eαтрансцендентно. В частности, отсюда следует, что число πтрансцендентно, поскольку eiπ является алгебраическим числом(равно -1). Это открытие закрывает такую известную проблему античности,как «квадратура круга». Другой класс чисел, чья трансцендентностьследует из теоремы Линдемана — логарифмы алгебраических чисел.
 Дальнейшим развитием темы занялся Карл Вейерштрасс, опубликовавший в1885 году теорему Линдемана–Вейерштрасса. Он значительно расширил классчисел с доказанной трансцендентностью, включив в него значения функцийсинуса и косинуса почти для всех алгебраических значений аргументов.
 В 1900 году Давид Гильберт в своём знаменитом докладе на ВторомМеждународном конгрессе математиков перечислил важнейшие математическиепроблемы. В седьмой из них, одной из самых трудных (по его собственнойоценке), ставился вопрос о трансцендентности чисел вида ab, где a,b— алгебраические числа, a не ноль и не единица, а b иррационально.В 1930-х годах Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер доказали, что всетакие числа действительно трансцендентны (теорема Гельфонда—Шнайдера).Авторы использовали для доказательства неявную вспомогательную функцию,существование которой гарантирует . Из теоремы Гельфонда–Шнайдеравытекает трансцендентность таких чисел, как eπ, 22 ипостоянная Гельфонда.
 Следующий важный результат в этой области был получен в 1960-х годах,когда Алан Бейкер продвинулся в решении проблемы, поставленнойГельфондом и касающейся линейных форм над логарифмами. Ранее Гельфондуудалось найти нетривиальную нижнюю границу для выражения:

|β1logα1+β2logα2|
 где все четыре неизвестные величины являются алгебраическими, причёмα1,α2 не равны нулю или единице, а β1,β2иррациональны. Найти аналогичные нижние границы для суммы трёх и болеелогарифмов Гельфонду не удалось. Доказательство содержало нахождениетаких границ и решение . Эта работа принесла Бейкеру премию Филдса 1970года за её использование для решения диофантовых уравнений.
 Из теоремы Бейкера следует, что если α1αn —алгебраические числа, не равные нулю или единице, иβ1βn — алгебраические числа такие, что1,β1βn линейно независимы над полем рациональныхчисел, то числоα1β1α2β2αnβnтрансцендентно.

Другие методы: Кантор иЗильбер


 В 1874 году Георг Кантор, разрабатывая свою теории множеств, доказал,что алгебраические числа могут быть поставлены во взаимно-однозначноесоответствие с множеством натуральных чисел. Другими словами, множествоалгебраических чисел счётно, а тогда множество трансцендентных чиселдолжно быть не только бесконечно, но и более чем счётно (континуально).Позже, в 1891 году, Кантор использовал для доказательства более простойи привычный диагональный метод. Встречаются мнения, что эти результатыКантора непригодны для построения конкретных трансцендентных чисел,однако на деле доказательства в обоих вышеупомянутых документах даютметоды построения трансцендентных чисел. Кантор использовал теориюмножеств для доказательства полноты множества трансцендентных чисел.
 Одной из последних тенденций при решении задач теории трансцендентныхчисел стало использование теории моделей. Проблема состоит в том, чтобыопределить поля
K=Q(x1,,xn,ex1,,exn)
для комплексныхчисел x1,,xn, которые являются линейно независимыми над полемрациональных чисел. Стивен Шеньюл (Stephen Schanuel) предположил,что ответ, по крайней мере, n, но доказательства этого пока нет.В 2004 году, правда, опубликовал работу, которая используеттеоретико-модельные методы, чтобы создать структуру, которая ведёт себяочень похоже на комплексные числа, снабжённые операциями сложения,умножения и возведения в степень. Кроме того, в этой абстрактнойструктуре гипотеза Шеньюла действительно выполняется. К сожалению, поканет уверенности, что эта структура действительно такая же, каккомплексные числа с названными операциями.

Подходы


 Выше уже упоминалось, что множество алгебраических чисел всего лишьсчётно и, следовательно, «почти все» числа трансцендентны.Трансцендентность числа, таким образом, представляют типичный случай;однако обычно не просто доказать, что данное число являетсятрансцендентным. По этой причине теория трансцендентности частопредпочитает более количественный подход: пусть дано комплексное числоα; спрашивается, насколько близко оно к алгебраическим числам? Например,если удаётся показать, что никакой рост степени многочлена или егокоэффициентов не может сделать α его корнем, то это число должно бытьтрансцендентным.
 Для реализации этой идеи можно найти нижнюю границу формы:

|P(α)|>F(A,d),
 где правая сторона — некоторая положительная функция, зависящая отнекоторой меры A коэффициентов многочлена и его степени d; нижняягрань («мера трансцендентности») определяется по всем ненулевыммногочленам. Случай d=1 соответствует классической задаче диофантовыхприближений, то есть поиску нижней грани для выражения:

|ax+b|
 Методы теории трансцендентности и диофантовых приближений имеют многообщего: они оба используют концепцию вспомогательных функций.

Обобщения


 Определение трансцендентности можно обобщить. Набор чиселα1αn называется алгебраически независимым над полемK, если существует ненулевой многочлен P(x1xn) скоэффициентами в K такой, что P(α1αn)=0. Дляполя рациональных чисел и набора из одного числа α этоопределение совпадает с данным выше определением трансцендентности.Разработана также теория трансцендентных p-адических чисел.

Открытыепроблемы


 Упомянутая выше теорема Гельфонда–Шнайдера открыла обширный класстрансцендентных чисел, но этот класс всего лишь счётный, и для многихважных констант до сих пор не известно, трансцендентны ли они. Не всегдадаже известно, являются ли они иррациональными. Среди них, например,различные сочетания π и e, константа Апери, постоянная Эйлера— Маскерони.
 Существующие достижения в теории касаются преимущественно чисел,связанных с экспонентой. Это означает, что нужны совершенно новыеметоды. Главная проблема в теории трансцендентности — доказать, чтоконкретный набор трансцендентных чисел является алгебраическинезависимым, это более сильное утверждение, чем то, что отдельные числав наборе трансцендентны. Мы знаем, что π и e трансцендентны,но это не означает, что трансцендентно π+e или другие комбинацииэтих чисел (за исключением eπ, постоянной Гельфонда, которая, какуже известно, трансцендентна). Гипотеза Шеньюла решает проблему сπ+e, однако она также относится только к числам, связанным сэкспонентой.