Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Конгруэнтное число

Конгруэнтное число — натуральное число, равное площадипрямоугольного треугольника со сторонами, длины которых выражаютсярациональными числами. Более общее определение включает всеположительные рациональные числа с этим свойством.
 Конгруэнтные числа образуют последовательность

 5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39,41, 45, 46, 47, 52\ldots
 Например, 5 является конгруэнтным числом, поскольку оно являетсяплощадью треугольника со сторонами 20/3, 3/2 и 41/6. Таким же образом,число 6 является конгруэнтным, поскольку оно является площадьютреугольника со сторонами 3,4 и 5. 3 не является конгруэнтным.
 Если q является конгруэнтным числом, тоs\textsuperscript2q тоже является конгруэнтным длянекоторого числа s (просто умножим каждую сторону треугольника наs), обратное тоже верно. Это приводит к наблюдению, что являетсяли ненулевое рациональное число q конгруэнтным числом, зависиттолько от его смежного класса в группе

Q/Q2.
 Любой смежный класс в этой группе содержит в точности одно свободное отквадратов число, поэтому, когда говорят о конгруэнтных числах, имеют ввиду только свободные от квадратов положительные целые числа.

Задача о конгруэнтномчисле


 Площадь треугольника через стороны выражается через формулу Герона:

S=p(pa)(pb)(pc),
 где p — полупериметр треугольника: p=a+b+c2.
 Несложными преобразованиями приведённая формула для площади может бытьпреобразовано в диофантово уравнение. Поэтому задача определения,является ли натуральное число конгруэнтным, сводится к поиску решенияэтого диофантового уравнения при заданном натуральном S сдополнительным требованием прямоугольности треугольника, чтоматематически выражается как:

a2+b2=c2
 где a, b — катеты треугольника, c — егогипотенуза.
 Задача определения, является ли данное целое число конгруэнтным, носитимя задача о конгруэнтном числе. Задача (к 2012) пока нерешена. даёт простой критерий проверки для определения, является личисло конгруэнтным, но этот результат основывается на гипотезе Бёрча —Свиннертон-Дайера, которая не доказана.
 Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике, названная в честь ПьераФерма, утверждает, что никакое квадратное число не может бытьконгруэнтным. Однако, в виде утверждения, что любая разность (шаг) междупоследовательными членами арифметической прогрессии квадратов неявляется полным квадратом, этот факт был уже известен (бездоказательства) Фибоначчи. Любой такой шаг прогрессии являетсяконгруэнтным числом, и любое конгруэнтное число является произведениемшага прогрессии на квадрат рационального числа. Однако определение,является ли число шагом прогрессии квадратов, является существенно болеепростой задачей, поскольку существует параметрическая формула, в которойнеобходимо проверить лишь конечное число значений параметров.

Связь с эллиптическимикривыми


 Вопрос, является ли данное число конгруэнтным, оказывается эквивалентенусловию, что некоторая эллиптическая кривая имеет положительный ранг.Альтернативный подход к идее представлен ниже (и может быть найден вовведении в работе Туннеля).
 Предположим, что a,b и c — числа (не обязательноположительные или рациональны), которые удовлетворяют следующимусловиям:


 \texttt   \{begin\{matrix\}\\\texttt       a\^2 + b\^2 \&=\& c\^2\{\{\\\texttt       \{tfrac\{1\}\{2\}ab \&=\& n.\\\texttt   \{end\{matrix\}
 Положим x = n(a+c)/b и y =2n\textsuperscript2(a+c)/b\textsuperscript2.Получим

y2=x3n2x
 и y не равен 0 (если y = 0, то a = -c, такчто b = 0, но (1/2)ab = n нулю не равно,противоречие).
 Обратно, если x и y являются числами, удовлетворяющимиуравнениям выше, и y не равен 0, положим a =(x\textsuperscript2 — n\textsuperscript2)/y,b = 2nx/y, и c =(x\textsuperscript2 + n\textsuperscript2)/y.Вычисления показывают, что эти три числа удовлетворяют двум уравнениямвыше.
 Соответствие между (a,b,c) и (x,y)обратимо, так что мы имеем взаимно-однозначное соответствие междурешениями этих двух уравнений для a, b и c ирешениями для x и y, где y не равен нулю. Вчастности, из формул для a, b и c следует, что длярационального n числа a, b и c рациональнытогда и только тогда, когда соответствующие x и yрациональны, и наоборот. (Мы также получаем, что a, b иc положительны тогда и только тогда, когда x и yположительны. Из уравнения y\textsuperscript2 =x\textsuperscript3 — xn\textsuperscript2 =x(x\textsuperscript2 — n\textsuperscript2)заметим, что если x и y положительны, тоx\textsuperscript2 — n\textsuperscript2 должно бытьположительно, так что формула выше для a даст положительноечисло.)
 Таким образом, положительное рациональное число n конгруэнтнотогда и только тогда, когда y\textsuperscript2 =x\textsuperscript3 — n\textsuperscript2xимеет с неравным нулю y. Можно показать (как изящное следствиетеоремы Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии), чтотолько точки кручения этой эллиптической кривой имеют y, равное0, откуда следует, что существование рациональных точек с ненулевымy эквивалентно утверждению, что эллиптическая кривая имеетположительный ранг.

Современноесостояние


 Множество работ посвящено классификации конгруэнтных чисел.
 Например, известно, что для простого числа p выполняетсяследующее:

  • если p ≡ 3 (mod 8), то p не является конгруэнтным, но 2p является.
  • если p ≡ 5 (mod 8), то p является конгруэнтным.
  • если p ≡ 7 (mod 8), то p и 2p конгруэнтны.

 Также известно, что в каждом из классов вычетов 5, 6, 7 (mod 8) и любогозаданного k имеется бесконечно много свободных от нулейконгруэнтных чисел с k простыми множителями.