Пифагорова четвёрка

Пифагорова четвёрка — кортеж целых чисел a, b,c и d, таких, что d \textgreater 0 иa2+b2+c2=d2 и зачастую обозначается (a,b,c,d).Геометрически, пифагорова четвёрка (a,b,c,d) определяет прямоугольныйпараллелепипед с длинами сторон \textbara\textbar,\textbarb\textbar и \textbarc\textbar, диагональкоторого имеет длину d. Пифагоровы четвёрки также называютсяпифагоровыми блоками.

Параметризация примитивныхчетвёрок


 Множество всех примитивных пифагоровых четвёрок, то есть тех,для которых НОД(a,b,c) = 1, имеет параметризацию

a=m2+n2p2q2,
b=2(mq+np),
c=2(nqmp),
d=m2+n2+p2+q2,
 где m, n, p, q — натуральные целые,НОД(m, n, p, q) = 1 и m + n +p + q ≡ 1 (mod 2). Таким образом, все примитивныепифагоровы четвёрки описываются тождеством Лебега

(m2+n2+p2+q2)2=(2mq+2np)2+(2nq2mp)2+(m2+n2p2q2)2.

Альтернативнаяпараметризация


 Все пифагоровы четвёрки (включая непримитивные и с повторениями) можнополучить из двух натуральных чисел a и b следующимобразом:
 Если a и b имеют различную чётность, возьмём любой множительp числа a2+b2 такой, что p2<a2+b2. Тогдаc=(a2+b2p2)/(2p) и d=(a2+b2+p2)/(2p). Заметим,что p=dc.
 Похожий метод существует для a,b чётных с дополнительнымограничением, что 2p должно быть чётным делителем числа a2+b2.Такого метода не существует для случая, когда оба числа a иb нечётны.

Свойства


 Наибольшее число, которое всегда делит произведение abcd, равно12. Четвёрка с минимальным произведением — (1, 2, 2, 3).

Связь с кватернионами и рациональными ортогональнымиматрицами


 Примитивная пифагорова четвёрка (a,b,c,d), параметризованная с помощью(m,n,p,q), соответствует первому столбцу матричного представленияE(α) сопряжения α()α¯ с помощьюкватерниона Гурвица α=m+ni+pj+qk суженого доподпространства H, натянутого на i,j,k


 E(\{alpha) = \{begin\{pmatrix\}m\^2+n\^2-p\^2-q\^2\&2np-2mq \&2mp+2nq\{\{ 2mq+2np\&m\^2-n\^2+p\^2-q\^2\&2pq-2mn \{\{2nq-2mp \&2mn+2pq\&m\^2-n\^2-p\^2+q\^2\{\{\{end\{pmatrix\},
 где столбцы попарно ортогональны и каждый имеет норму d. Болеетого, 1dE(α) SO(3,Q), и,фактически, все 3 × 3 ортогональные матрицы с рациональнымикоэффициентами появляются таким образом.

Пифагоровы четвёрки с малойнормой



 (1,2,2,3), (2,3,6,7), (1,4,8,9), (4,4,7,9), (2,6,9,11), (6,6,7,11),(3,4,12,13), (2,5,14,15), (2, 10, 11, 15), (1,12,12,17), (8,9,12,17),(1,6,18,19), (6,6,17,19), (6,10,15,19), (4,5,20,21), (4,8,19,21),(4,13,16,21), (8,11,16,21), (3,6,22,23), (3,14,18,23), (6,13,18,23), (9,12, 20, 25), (12, 15, 16, 25), (2,7,26,27), (2,10,25,27), (2,14,23,27),(7,14,22,27), (10,10,23,27), (3,16,24,29), (11,12,24,29), (12,16,21,29)