Processing math: 100%

Гипотеза Ферма Каталана

Гипотеза Ферма — Каталана — теоретико-числовая гипотеза,обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Каталана. Она утверждает,что уравнение

am+bn=ck
 имеет не более чем конечное число решений a,b,c,m,n,k с различнымитройками значений am,bn,ck, где a,b,c — натуральные взаимнопростые числа, а m,n,k — натуральные числа, удовлетворяющиесоотношению

1m+1n+1k<1.
 На 2014-й год известно всего 10 решений этого уравнения:

1m+23=32
25+72=34
132+73=29
27+173=712
35+114=1222
338+15490342=156133
14143+22134592=657
92623+153122832=1137
177+762713=210639282
438+962223=300429072
 Решение 1m+23=32 — это единственное решение, в котором одно изa,b,c равно 1. В этом состоит гипотеза Каталана, доказанная в 2006-мгоду .
 Все решения были найдены для троек показателей m,n,k, равных(2,3,7),(n,n,n),(2,3,8),(2,3,9),(2,4,5),(2,4,6),(3,3,4),(3,3,5),(2,4,7),(2,n,n),(3,n,n),(2n,2n,5),(2,4,n).
 По теореме Фальтингса для любых фиксированных натуральных m,n,k,удовлетворяющих неравенству 1m+1n+1k<1,существует не более чем конечное число троек a,b,c, удовлетворяющихуравнению am+bn=ck, но гипотеза Ферма — Каталана строже,поскольку утверждает конечность числа решений для бесконечного множестватроек m,n,k.
 abc-гипотеза влечет гипотезу Ферма — Каталана.
 Гипотеза Била состоит в том, что все решения уравнения Ферма —Каталана имеют один из показателей равный 2.