Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике

Теорема Ферма о прямоугольном треугольнике – этодоказательство несуществования в теории чисел, единственное полноедоказательство, оставленное Пьером Ферма. Теорема имеет несколькоэквивалентных формулировок:

  • Если три квадратных числа образуют арифметическую прогрессию, то шаг прогрессии не может быть квадратом.
  • Не существует двух пифагоровых троек, в которых два катета одной тройки являются катетом и гипотенузой другой тройки.
  • Прямоугольный треугольник, у которого длины всех трёх сторон являются рациональным числом, не может иметь площадь, равную квадрату рационального числа. Площадь, определённая таким образом, называется конгруэнтным числом, так что никакое конгруэнтное число не может быть квадратом.
  • Прямоугольный треугольник и квадрат с одинаковой площадью не могут иметь соизмеримые стороны (величины соизмеримы, если частное этих величин является рациональным числом).
  • Единственными рациональными точками на эллиптической кривой y2=x(x1)(x+1) являются три тривиальные точки (0,0), (1,0) и (−1,0).
  • Диофантово уравнение x4y4=z2 не имеет целых решений.

 Немедленным следствием последнего из приведённых утверждений являетсяверность великой теоремы Ферма для показателя n=4.

Формулировка


Квадраты арифметическихпрогрессий


 В 1225 итальянскому математику Фибоначчи предложили найти способпостроения троек квадратов, которые находятся на одинаковом расстояниидруг от друга, образуя арифметическую прогрессию. Один из способовописания решения Фибоначчи – представить эти числа как разностькатетов, гипотенузы и суммы катетов пифагоровой тройки, а шаг прогрессиитогда будет равен учетверённой площади этого треугольника. В болеепоздней работе об этой проблеме, опубликованной в , Фибоначчизаметил, что шаг арифметической прогрессии квадратов сам по себе неможет быть квадратом, но не представил удовлетворительногодоказательства этого факта.
 Если бы три квадрата a2, b2 и c2 образовали арифметическуюпрогрессию, у которой шаг является также квадратом d2, то эти числаудовлетворяли бы диофантовым уравнениям
a2+d2=b2
и b2+d2=c2. В этом случае, по теоремеПифагора, они образовали бы два прямоугольных треугольника сцелочисленными сторонами, в котором пара (d,b) были бы катетом игипотенузой меньшего треугольника и та же самая пара была бы катетамибольшего треугольника. Но если (как показал Фибоначчи) не существуетквадратного шага в арифметической последовательности квадратов, то неможет существовать двух прямоугольных треугольников с целыми сторонами,у которых две стороны совпадают.

Площади прямоугольныхтреугольников


 Поскольку шаг прогрессии квадратов равен четырём площадям пифагороватреугольника, а умножение на четыре не меняет, является ли числоквадратом, существование квадратного шага в арифметическойпоследовательности квадратов эквивалентно существованию пифагороватреугольника с площадью, равной квадрату целого числа. Это тот вариант,который рассматривал Ферма в своём доказательстве и в котором онпоказал, что таких треугольников не существует. На эту задачу Ферманатолкнул не Фибоначчи, а чтение книги Диофанта, изданной КлодомГаспаром Баше. Эта книга описывает различные , площадь которых связана сквадратами, но не предполагается, что является квадратами.
 Преобразованием уравнений для двух пифагоровых треугольниках выше, азатем путём их перемножения, можем получить диофантово уравнение
b4d4=(b2d2)(b2+d2)=a2c2
которое можно упростить до
b4d4=e2.
И обратно, любое решение этого уравнения можноразложить так, что получим квадратный шаг в арифметическойпоследовательности квадратов. Таким образом, разрешимость этогоуравнения эквивалентна существованию квадратного шага в арифметическойпоследовательности квадратов. Но если бы великая теорема Ферма не былабы верна для экспоненты n=4, то любой контрпример был бы теми самымитремя квадратами, которые удовлетворяют уравнению. Таким образом, издоказательства Ферма, что не существует пифагорова треугольника сплощадью, равной квадрату целого числа, вытекает, что уравнение не имеетрешений, а потому (для этого случая) великая теорема Ферма верна.
 Ещё одна формулировка той же проблемы использует конгруэнтные числа,числа, являющиеся площадями прямоугольных треугольников с рациональнымисторонами. Умножая обе стороны на общий знаменатель, можно любоеконгруэнтное число преобразовать в площадь пифагорова треугольника,откуда следует, что конгруэнтные числа – это в точности числа,получаемые умножением шага в арифметической последовательности квадратовна квадрат рационального числа. Таким образом, не существует квадратногошага в арифметической последовательности квадратов тогда и только тогда,когда число 1 не является конгруэнтным. Эквивалентная формулировка:невозможно, чтобы квадрат (геометрическая фигура) и прямоугольныйтреугольник имели равную площадь и все стороны попарно соизмеримы(величины соизмеримы, если частное этих величин является рациональнымчислом).

Эллиптическаякривая


 Ещё одна эквивалентная формулировка теоремы Ферма используетэллиптическую кривую, состоящую из точек, декартовы координаты (x,y)которых удовлетворяют уравнению
y2=x(x+1)(x1).
Это уравнение имеет очевидные решения (0,0),(1,0) и (−1,0). Теорема Ферма эквивалентна утверждению, что только уэтих точек кривой обе координаты рациональны.

ДоказательствоФерма


 В течение жизни Ферма предлагал некоторым другим математикам доказатьнесуществование пифагорова треугольника с площадью, являющейсяквадратом, но сам доказательство не опубликовал. Однако он записалдоказательство на полях изданной Клодом Баше «Арифметики» Диофанта,которое вскоре обнаружил и опубликовал посмертно его сын.
 Доказательство Ферма использует метод бесконечного спуска. Он показал,что из любого экземпляра пифагорова треугольника с квадратной площадьюможно получить такой же экземпляр с меньшей площадью. Посколькупифагоровы треугольники имеют положительную целочисленную площадь, абесконечной убывающей последовательности положительных целых чисел несуществует, не может существовать и пифагоровых треугольников сплощадью, являющейся квадратом целого числа.
 Предположим, что x, y и z являются целыми сторонами прямоугольноготреугольника с площадью, являющейся квадратом целого числа. Последеления на общие множители мы можем считать треугольник простым, а изизвестных формул для простых пифагоровых треугольников, можно полагатьx=2pq, y=p2q2 и z=p2+q2, в результате чего задачапревращается в нахождение взаимно простых целых чисел p и q (одно изкоторых чётно), таких, что pq(p2q2) является квадратом. Четырелинейных множителя p, q, p+q и pq взаимно просты, а потому самидолжны быть квадратами. Пусть p+q=r2 и pq=s2. Важно заметить, чтои r, и s должны быть нечётными, поскольку только одно из чисел pили q чётно, а другое нечётно. Таким образом, и (rs), и (r+s)чётны, и одно из них делится на 4. Из этих двух чисел Ферма получает двадругих числа, u=(rs)/2 и v=(r+s)/2, одно из которых чётно.Поскольку u2+v2=p является квадратом, u и v являются катетамидругого простого пифагорова треугольника, площадь которого равна(uv)/2=q/4. Поскольку q само является квадратом, и поскольку uvчётно, q/4 является квадратом. Таким образом, любой пифагоровтреугольник с площадью, равной квадрату целого числа, приводит кменьшему пифагорову треугольнику с квадратной площадью, что завершаетдоказательство.