Теорема Лежандра

Теорема Лежандра — утверждение об условиях существованиярешений для некоторого подкласса квадратичных диофантовых уравнений,установленное Лежандром в 1785 году.

Формулировка


 Уравнение
aX2+bY2+cZ2=0,
у которого не все коэффициенты одного знака иa,b,c — попарно взаимно простые числа, имеет нетривиальное решение вцелых числах (X,Y,Z) тогда и только тогда, когда:

  • ab — квадратичный вычет по модулю c,
  • bc — квадратичный вычет по модулю a,
  • ca — квадратичный вычет по модулю b.

Одоказательстве


 Необходимость этих условий очевидна, достаточность следует из теоремыМинковского — Хассе для квадратичных форм: квадратичная формапредставляет нуль в Q тогда и только тогда, когда онапредставляет нуль в R и во всех полях p-адических чиселQp. Для разрешимости в R нужны разные знаки, дляразрешимости в Qp для pabc — вышеприведённыесимметричные соотношения.