Processing math: 60%

Пифагорова тройка

Пифагорова тройка — упорядоченный набор из трёх натуральныхчисел (x,y,z), удовлетворяющих следующему однородному квадратномууравнению:
x2+y2=z2.
 При этом числа, образующие пифагорову тройку, называютсяпифагоровыми числами. Названы в честь Пифагора Самосского, хотяоткрыты задолго до него.

Примитивныетройки


 Поскольку уравнение x2+y2=z2 однородно, при умножении x, yи z на одно и то же натуральное число получится другая пифагороватройка. Пифагорова тройка (x,y,z) называетсяпримитивной, если она не может быть получена такимспособом из какой-то другой пифагоровой тройки, то есть если x,y,zявляются взаимно простыми числами. Другими словами, наибольший общийделитель примитивной пифагоровой тройки (x,y,z) равен 1.
 В примитивной тройке (x,y,z) числа x и y имеют разную чётность,причём чётное делится на 4, а z — всегда нечётно.
 Любая примитивная пифагорова тройка (x,y,z), где x — нечётно, аy — чётно, однозначно представляется в виде(m2n2,2mn,m2+n2) для некоторых натуральных взаимно простыхчисел m>n разной чётности.
 Эти числа можно вычислить по формулам:
{m=z+x2=z+y+zy2n=zx2=z+yzy2
 Наоборот, любая такая пара чисел (m,n) задаёт примитивную пифагоровутройку (m2n2,2mn,m2+n2).

История


 Наиболее известной в развитых древних культурах была тройка (3, 4, 5),которая позволяла древним строить прямые углы. Витрувий считал этутройку высшим достижением математики, а Платон — символом супружества,что говорит о большом значении, которое придавали древние тройке (3, 4,5).
 В архитектуре древнемесопотамских надгробий встречается равнобедренныйтреугольник, составленный из двух прямоугольных со сторонами 9, 12 и 15локтей. Пирамиды фараона Снофру (XXVII век до н. э.) построены сиспользованием треугольников со сторонами 20, 21 и 29, а также 18, 24 и30 десятков египетских локтей.
 Знаменитая глиняная табличка Plimpton 322, которую в начале прошлоговека на территории современного Ирака нашел археолог Эдгар Бэнкссодержит тригонометрическую таблицу. Вероятно, вавилоняне использовалиее при строительстве зданий и каналов. Причем их метод был основан насоотношении сторон, а не на углах и окружностях, как у древних греков.Кроме того, он оказался сложнее. Классическим примером пифагоровойтройки являются числа 3, 4 и 5. Значения на Plimpton 322 начинаются стройки 119, 120 и 169.

Генерациятроек


Формула Евклида является основным средством построенияпифагоровых троек. Согласно ей для любой пары натуральных чисел m иn (m>n) целые числа:
a=m2n2, b=2mn, c=m2+n2
 образуют пифагорову тройку. Тройки, образованные по формуле Евклида,примитивны тогда и только тогда, когда m и n взаимно просты и mnнечётно. Если и m, и n нечётны, то a, b и c будут чётными итройка не примитивна. Однако деление a, b и c на 2 даётпримитивную тройку, если m и n взаимно просты.
 Любая примитивная тройка получается из единственной пары взаимно простыхчисел m и n, одно из которых чётно. Отсюда следует, что существуетбесконечно много примитивных пифагоровых троек.
 Несмотря на то, что формула Евклида генерирует все примитивные тройки,она не порождает все тройки. При добавлении дополнительного параметраk получается формула, порождающая все пифагоровы треугольникиединственным образом:
a=k(m2n2), b=k(2mn), c=k(m2+n2)
 где m, n и k — натуральные числа, m>n, mn нечётно, m иn взаимно просты.
 То, что эти формулы образуют пифагоровы тройки, можно проверить путёмподстановок в a2+b2 и проверки, что результат совпадает с c2.Поскольку любую пифагорову тройку можно разделить на некоторое k,чтобы получить примитивную тройку, любая тройка может быть образованаединственным образом с использованием m и n для создания примитивнойтройки, а затем она умножается на k.
 Со времён Евклида было найдено множество формул для генерации троек.

Доказательство формулЕвклида


 Тот факт, что числа a, b, c, удовлетворяющие формуле Евклида,всегда составляют пифагоров треугольник, очевиден для положительныхцелых m и n, m>n, поскольку после подстановки в формулы a, b иc будут положительными числами, а также из того, что выполняется
a2+b2=(m2n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2=c2.
 Обратное утверждение, что a, b, c выражаются формулой Евклида длялюбой пифагоровой тройки, вытекает из следующего. Все такие тройки можнозаписать в виде (a, b, c), где a2+b2=c2 и a, b, cявляются взаимно простыми, а b и c имеют противоположную чётность(одно из них чётно, другое нечётно). (Если c имеет ту же самуючётность с обоими катетами, то в случае их чётности они не будут взаимнопростыми, а в случае нечётности a2+b2 даст чётное число, и оно неможет быть равно нечётному c2.) Из a2+b2=c2 мы получаемc2a2=b2, а следовательно, (ca)(c+a)=b2. Тогда(c+a)b=b(ca). Поскольку (c+a)bявляется рациональным, мы представим его в виде несократимой дробиmn. Мы отсюда же получаем, что дробь (ca)bравна nm. Решая уравнения
cb+ab=mn, cbab=nm
 относительно cb и ab, получим
cb=m2+n22mn, ab=m2n22mn.
 Поскольку cb и ab несократимы по предположению,числители и знаменатели будут равными тогда и только тогда, когда правыечасти каждого равенства несократимы. Как мы условились, дробьmn тоже несократима, откуда следует, что m и n взаимнопросты. Правые части будут несократимы тогда и только тогда, когда m иn имеют противоположную чётность, так что числитель не делится на 2.(А m и n должны иметь противоположную чётность — оба немогут быть чётными ввиду несократимости, а в случае нечётности обоихчисел деление m2+n22mn на 2 даст дробь, в числителе изнаменателе которой будут нечётные числа, но эта дробь равнаcb, в которой числитель и знаменатель будут иметь различнуючётность, что противоречит предположению.) Теперь, приравнивая числителии знаменатели, получим формулу Евклида a=m2n2, b=2mn, c=m2+n2с m и n взаимно простыми и имеющими различную чётность.
 Более длинное, но и более общепринятое доказательство приведено в книгахМаора (Maor, 2007) и Серпинского.

Интерпретация параметров в формулеЕвклида


 Пусть стороны пифагорова треугольника равны m2n2, 2mn иm2+n2. Обозначим угол между катетом m2n2 и гипотенузойm2+n2 буквой θ. Тогдаtgθ=2mnm2n2 иtgθ2=nm.

Элементарные свойства примитивных пифагоровыхтроек


 Свойства примитивной пифагоровой тройки , где (без указания чётностичисел или ):

  • (ca)(cb)2 всегда является полным квадратом.. Это особенно полезно для проверки, является ли заданная тройка чисел пифагоровой, хотя это и не является достаточным условием. Тройка проходит этот тест, поскольку является полным квадратом, но эта тройка не является пифагоровой. Если тройка чисел , и образует пифагорову тройку, то число ( минус чётный катет) и половина числа ( минус нечётный катет) являются полными квадратами, однако это не является достаточным условием, и тройка является контрпримером, поскольку .
  • Максимум одно из чисел , и является квадратом.
  • Площадь пифагорова треугольника не может быть квадратом или удвоенным квадратом натурального числа.
  • В точности одно из чисел и нечётно, всегда нечётно. .
  • В точности одно из чисел и делится на 3.
  • В точности одно из чисел и делится на 4.
  • В точности одно из чисел , и делится на 5.
  • Максимальное число, которое всегда делит произведение , равно шестидесяти.
  • Все простые множители являются . Таким образом, имеет вид .
  • Площадь является чётным конгруэнтным числом.
  • В любой пифагоровой тройке радиус вписанной окружности и радиусы трёх вневписанных окружностей являются натуральными числами. В частности, для примитивной тройки радиус вписанной окружности равен , а радиусы вневписанных окружностей, касающихся катетов , , и гипотенузы равны соответственно , и .
  • Как и для любого прямоугольного треугольника, обратное утверждение к теореме Фалеса гласит, что диаметр описанной окружности равен гипотенузе. Поскольку для примитивных троек диаметр равен , радиус описанной окружности является половиной этого числа и это число рациональное, но не целое (поскольку и имеют разную чётность).
  • Если площадь пифагорова треугольника умножить на кривизны вписанной окружности и трёх вневписанных, в результате получим четыре положительных целых соответственно. Эти числа удовлетворяют уравнению декартовых окружностей. Эквивалентно, радиус любого прямоугольного треугольника равен его полупериметру. Внешний центр Содди расположен в точке , где  — прямоугольник,  — прямоугольный треугольник, а  — его гипотенуза.
  • Не существует пифагоровых троек, для которых гипотенуза и один из катетов являются катетами другой пифагоровой тройки. Это одна из формулировок теоремы Ферма о прямоугольном треугольнике.
  • Каждый примитивный пифагоров треугольник имеет уникальное отношение площади к квадрату полупериметра (то есть отношения для различных примитивных треугольников различны), и это отношение равно


Ks2=n(mn)m(m+n)=1cs.

  • Ни в каком примитивном пифагоровом треугольнике высота, опирающуюся на гипотенузу, не выражается целым числом, а потому он не может быть разбит на два пифагоровых треугольника.

 Кроме того, могут существовать специальные пифагоровы тройки снекоторыми дополнительными свойствами:

  • Любое целое, большее 2, которое не (другими словами, если оно больше 2 и не имеет вид 4 + 2) является частью примитивной пифагоровой тройки.
  • Любое целое число, большее 2, входит в примитивную или непримитивную пифагорову тройку. Например, числа 6, 10, 14 и 18 не содержатся ни в какой примитивной тройке, но входят в тройки 6, 8, 10; 14, 48, 50 и 18, 80, 82.
  • Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший из катетов отличаются ровно на единицу (такие тройки заведомо примитивны). Один из способов получения таких троек — равенство , приводящее к тройкам , , , Более общее утверждение: для любого нечётного целого существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и чётный катет отличаются на .
  • Существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и больший по длине катет отличается ровно на два. Обобщение: Для любого целого , существует бесконечно много примитивных пифагоровых троек, в которых гипотенуза и нечётный катет отличаются на .
  • Существует бесконечно много пифагоровых троек, в которых два катета отличаются ровно на единицу. Например, .
  • Для любого натурального существует пифагоровых троек с различными гипотенузами и одной и той же площадью.
  • Для любого натурального существует по меньшей мере различных пифагоровых троек с одним и тем же катетом , где  — некоторое натуральное число
  • Для любого натурального существует по меньшей мере различных пифагоровых троек с одной и той же гипотенузой.
  • Существует бесконечно много пифагоровых троек, у которых квадратами являются гипотенуза и сумма катетов . В наименьшей такой тройке . Здесь и . В формуле Евклида эти значения соответствуют и .
  • Существуют пифагоровы треугольники с целой высотой, опирающейся на гипотенузу. Такие треугольники известны как разбиваемые, поскольку их можно разбить этой высотой на два меньших пифагоровых треугольника. Ни один из разбиваемых треугольников не образован примитивной тройкой.


  • Множество всех примитивных пифагоровых треугольников образует корневое естественным способом, см. Дерево примитивных пифагоровых троек.

 Неизвестно, существуют ли две различные пифагоровы тройки с одинаковымпроизведением входящих в них чисел.

Группа пифагоровыхтроек


 Любая рациональная точка на единичной окружности соответствуетпифагоровой тройке , точнее — обобщённой пифагоровой тройке, так как имогут быть нулевыми и отрицательными.
 Пусть даны два пифагоровых треугольников и с углами и . Можно построитьтреугольники с углами , используя формулы сложения углов.
a/c=sin(α±β)=sin(α)cos(β)±cos(α)sin(β)=a1b2±b1a2c1c2
b/c=cos(α±β)=cos(α)cos(β)sin(α)sin(β)=b1b2a1a2c1c2
 Эти прямоугольные треугольники тоже будут целочисленными, то естьпифагоровыми. Можно ввести операцию над тройками, используявышеприведённые формулы. Эта операция будет коммутативной иассоциативной, то есть обобщённые пифагоровы тройки образуют абелевугруппу .

Пифагоровы тройки на двумернойрешётке


 Двумерная решётка — это набор изолированных точек, в котором, есливыбрать одну точку в качестве начала координат (0, 0), все другие точкиимеют координаты , где и пробегают все положительные и отрицательныецелые числа. Любую пифагорову тройку можно нарисовать на двумернойрешётке как точки с координатами и . По теореме Пика число точекрешётки, лежащих строго внутри треугольника, задаётся формулой(a1)(b1)gcd Для примитивных пифагоровых троекчисло точек решётки равно \tfrac{(a-1)(b-1)}{2}, и это сравнимо сплощадью треугольника \tfrac{ab}{2}.
 Интересно, что первый случай совпадения площадей примитивных пифагоровыхтроек появляется на тройках (20, 21, 29), (12, 35, 37) с площадью 210.Первое же появление примитивных пифагоровых троек с одинаковым числомточек решётки появляется лишь на (, , ), (, , ) с числом точек . Найденытри примитивные пифагоровы тройки с одинаковыми площадями (4485, 5852,7373), (3059, 8580, 9109), (1380, , ) и площадью . Тем не менее ни однойтройки примитивных пифагоровых троек с одинаковым числом точек решёткипока не найдено.

Спиноры и модулярнаягруппа


 Пифагоровы тройки можно представить в виде матриц видаX = \begin{bmatrix}c+b & a\\a & c-b\end{bmatrix}. Матрица этого вида симметрична. Кроме того, определительматрицы равен

\det X = c^2 - a^2 - b^2,
 который равен нулю в точности тогда, когда является пифагоровой тройкой.Если соответствует пифагоровой тройке, то она должна иметь ранг 1.
 Поскольку симметрична, из линейной алгебры известно, что существуетвектор , такой, что для внешнего произведения выполняется

X = 2\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}[m\ n] = 2\xi\xi^T, (1)
 где T означает транспонирование. Вектор называется спинором (для группыЛоренца SO(1, 2). В абстрактных терминах формула Евклида означает, чтокаждая примитивная пифагорова тройка может быть записана как внешнеепроизведение на себя спинора с целыми элементами, как в формуле (1).
 Модулярная группа  — это множество матриц 2?2 с целыми элементами

A = \begin{bmatrix}\alpha&\beta\\ \gamma&\delta\end{bmatrix}
 и определителем, равным единице: . Это множество образует группу,поскольку обратная к матрице из является снова матрицей из , как ипроизведение двух матриц из . Модулярная группа действует на коллекциювсех целых спиноров. Более того, группа транзитивна на коллекции целыхспиноров с взаимно простыми элементами. Если содержит взаимно простыеэлементы, то

\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}
 где и выбраны (с помощью алгоритма Евклида) так, что .
 Действуя на спинор в (1), действие в переходит в действие надпифагоровыми тройками, позволяя при этом тройки с отрицательнымизначениями. Если  — матрица в , то

2(A\xi)(A\xi)^T = A X A^T (2)
 даёт начало действиям на матрицу в (1). Это не даёт хорошо определённоедействие на примитивные тройки, поскольку оно может переводитьпримитивную тройку в непримитивную. В этом месте принято (следуяТраутману ) называть тройку стандартной, если и либо взаимнопросты, либо взаимно просты и нечётно. Если спинор имеет взаимно простыеэлементы, то связанная тройка , задаваемая формулой (1), являетсястандартной тройкой. Отсюда следует, что действие модулярной группытранзитивно на множестве стандартных троек.
 Альтернативно, ограничимся теми значениями и , для которых нечётно, ачётно. Пусть подгруппа (2) группы  — ядро гомоморфизма

\Gamma=\mathrm{SL}(2,\mathbf{Z})\to \mathrm{SL}(2,\mathbf{Z}_2)
 где  — специальная линейная группа над конечным полем целых по модулю2. Тогда (2) является группой унимодулярных преобразований, котораясохраняет чётность каждого элемента. Таким образом, если элемент вектора? нечётный, а второй чётный, то то же самое верно для для всех .Фактически под действием (2) группа (2) действует транзитивно наколлекцию примитивных пифагоровых троек .
 Группа (2) является свободной группой, генераторами которой являютсяматрицы

U=\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix},\qquad L=\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}.
 Поэтому любая примитивная пифагорова тройка может быть полученаединственным образом как произведение копий матриц и .

Связь с гауссовыми целымичислами


 Формулы Евклида могут быть проанализированы и доказаны с помощьюгауссовых целых чисел. Гауссовы целые — это комплексные числа вида ? =u + vi, где u и v обычные целые числа, аi — корень из минус единицы. Единицы гауссовых целых — это ±1и ±i. Обычные целые называются целыми и обозначаются Z.Гауссовы целые обознаяаются Z[i]. Правая частьтеоремы Пифагора можно разложить на гауссовы целые:
c^2 = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)} = (a+bi)(a-bi).
 Примитивная пифагорова тройка — это тройка, в которой a иb взаимно просты, то есть не имеют общих простых делителей. Длятаких троек либо a, либо b чётно, а второе нечётно. Отсюдаследует, что c также нечётно.
 Каждое из двух множителей z = a + bi и z* =a — bi примитивной пифагоровой тройки равно квадратугауссового целого. Это можно доказать с помощью свойства, что любоегауссово целое можно единственным образом разложить на гауссовы простыес точностью до единицы. (Единственность разложения, грубо говоря,следует из того, что для них можно определить версию алгоритма Евклида)Доказательство имеет три шага. Сначала доказывается, что если a иb не имеют простых чисел в целых числах, то они не имеют простыхобщих множителей в гауссовых целых. Отсюда следует, что z иz* не имеют общих простых множителей в гауссовых целых. Инаконец, поскольку c^2 является квадратом, любоегауссово простое в разложении повторяется дважды. Поскольку z иz* не имеют общих простых множителей, это удвоение верно и дляних. Следовательно, z и z* являются квадратами.
 Таким образом, первый множитель можно записать в виде
a+bi = \varepsilon\left(m + ni \right)^2, \quad \varepsilon\in\{\pm 1, \pm i\}.
 Вещественные и мнимые части этого уравнения дают две формулы:
\begin{cases}\varepsilon = +1, & \quad a = +\left( m^2 - n^2 \right),\quad b = +2mn; \\ \varepsilon = -1, & \quad a = -\left( m^2 - n^2 \right),\quad b = -2mn; \\ \varepsilon = +i, & \quad a = -2mn,\quad b = +\left( m^2 - n^2 \right); \\ \varepsilon = -i, & \quad a = +2mn,\quad b = -\left( m^2 - n^2 \right).\end{cases}
 Для любой примитивной пифагоровой тройки должны существовать целыеm и n, такие что эти два равенства выполняются. Отсюда,любая пифагорова тройка может быть получена путём выбора этих целых.

Как полный квадрат гауссовыхцелых


 Если взять квадрат гауссового целого, мы получим следующую интерпретациюформул Евклида как представление полного квадрата гауссовых целых.
(m+ni)^2 = (m^2-n^2)+2mni.
 Если использовать факт, что гауссовы целые являются евклидовой областьюи то, что для гауссовых целых p квадрат модуля |p|^2 всегда являетсяполным квадратом, можно показать, что пифагоровы тройки соответствуютквадратам простых гауссовых целых, если гипотенуза является простымчислом.

Специальныеслучаи


ПоследовательностьПлатона


 Случай n = 1 общей конструкции пифагоровых троек известен давно.Прокл, в своём комментарии к 47-ому Утверждению в первой книге НачалЕвклида, описывает это следующим образом:
Некоторые методы получения таких треугольников этого вида легкополучить, один из них принадлежит Платону, другой — Пифагору.(Последний) начал с нечётных чисел. Для этого он выбрал нечётное число вкачестве меньшего из катетов. Затем он возвёл его в квадрат, вычелединицу и половину этой разницы использовал как второй катет. Наконец,он добавил единицу к этому катету и получил гипотенузу....МетодПлатона работает с чётными числами. Он использует заданное чётное числов качестве одного из катетов. Половина этого числа возводится в квадрати добавляется единица, что даёт гипотенузу, а вычитание единицы даётвторой катет. ...И это даёт тот же треугольник, что и другойметод.
 В виде уравнений:
a нечётно (Пифагор, 540 до н. э.):
a : b = {a^2 - 1 \over 2} : c = {a^2 + 1 \over 2}.
a чётно (Платон, 380 до н. э.):
a : b = \left({a \over 2}\right)^2 - 1 : c = \left({a \over 2}\right)^2 + 1
 Можно показать, что все пифагоровы тройки получаются изпоследовательности Платона (x, y, z) = p,(p^2 ? 1)/2 и (p^2 +1)/2, если позволить p принимать нецелые (рациональные) значения.Если в этой последовательности p заменить рациональной дробьюm/n, получим 'стандартный' генератор троек 2mn,m^2 ? n^2 иm^2 + n^2. Отсюдаследует, что любой тройке соответствует рациональное значение p,которое можно использовать для получения подобного треугольника срациональными сторонами, пропорциональными сторонам исходноготреугольника. Например, платоновым эквивалентом тройке (6, 8, 10) будет(3/2; 2, 5/2).

УравнениеЯкоби-Маддена


 Уравнение
a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4
 эквивалентно специальной диофантовой тройке,
(a^2+ab+b^2)^2+(c^2+cd+d^2)^2 = ((a+b)^2+(a+b)(c+d)+(c+d)^2)^2
 Существует бесконечное число решений этого уравнения, которые можнополучить используя эллиптическую кривую. Два из этих решений
a, b, c, d = -2634, 955, 1770, 5400
a, b, c, d = -31764, 7590, 27385, 48150

Равные суммы двухквадратов


 Один из способов генерации решений для a^2+b^2=c^2+d^2 —параметризовать a, b, c, d в терминах натуральных чисел m,n, p, q следующим образом:
(m^2+n^2)(p^2+q^2)=(mp-nq)^2+(np+mq)^2=(mp+nq)^2+(np-mq)^2.

Равные суммы двух четвёртыхстепеней


 Если даны два набора пифагоровых троек,
(a^2-b^2)^2+(2a b)^2 = (a^2+b^2)^2
(c^2-d^2)^2+(2c d)^2 = (c^2+d^2)^2
 задача поиска равных произведений катета и гипотенузы
(a^2 -b^2)(a^2+b^2) = (c^2 -d^2)(c^2+d^2),
 как легко видеть, эквивалентна уравнению
a^4 -b^4 = c^4 -d^4,
 для которого Эйлер получил решение a, b, c, d = 133,59,158,134.Поскольку он показал, что эта точка является рациональной точкойэллиптической кривой, то существует бесконечное число решений.Фактически, он также нашёл полиномиальную параметризацию 7-й степени.

Теорема Декарта обокружностях


 В случае , когда все переменные являются квадратами,
2(a^4+b^4+c^4+d^4) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2
 Эйлер показал, что это эквивалентно трём пифагоровым тройкам,
(2ab)^2+(2cd)^2 = (a^2+b^2-c^2-d^2)^2
(2ac)^2+(2bd)^2 = (a^2-b^2+c^2-d^2)^2
(2ad)^2+(2bc)^2 = (a^2-b^2-c^2+d^2)^2
 Здесь тоже существует бесконечное число решений, а для специальногослучая a+b=c, уравнение упрощается до,
4(a^2+a b+b^2) = d^2,
 которое имеет решение с небольшими числами a, b, c, d = 3, 5, 8, 14, иможет быть решено как .

Почти равнобедренные пифагоровытройки


 Имеются с целыми сторонами, у которых длины катеты отличающиеся наединицу, так что
3^2+4^2 = 5^2
20^2+21^2 = 29^2
 и бесконечное число других. Для них можно вывести общую формулу
(\tfrac{x-1}{2})^2+(\tfrac{x+1}{2})^2 = y^2
 где (x, y\} являются решениями уравнения Пелля x^2-2y^2 = -1.
 В случае, когда катет и гипотенуза отличаются на единицу, как в случаях
5^2+12^2 = 13^2
7^2+24^2 = 25^2
 общим решением будет
(2m+1)^2+(2m^2+2m)^2 = (2m^2+2m+1)^2
 откуда видно, что все нечётные числа (большие 1) появляются впримитивных пифагоровых тройках.

Обобщения


 Имеется несколько вариантов обобщения концепции пифагоровых троек.

Пифагоровычетвёрки


 Множество из четырёх натуральных чисел a, b, c иd, таких, что {a}^{2} +{b}^{2}+ {c}^{2} ={d}^{2} называется пифагоровой четвёркой. Простейшийпример — (1, 2, 2, 3), поскольку 1^{2} +2^{2} + 2^{2} = 3^{2}.Следующий (примитивный) простейший пример — (2, 3, 6, 7), поскольку2^{2} + 3^{2} + 6^{2} =7^{2}.
 Все четвёрки задаются формулой
(m^2+n^2-p^2-q^2)^2+(2mq+2np)^2+(2nq-2mp)^2=(m^2+n^2+p^2+q^2)^2.

Пифагоровы n-наборы


 Используя простое алгебраическое тождество,
(x_1^2-x_0)^2 + (2x_1)^{2}x_0 = (x_1^2+x_0)^2
 для произвольных x0, x1,просто доказать, что квадрат суммы n квадратов сам являетсясуммой n квадратов, для чего положим {x}_{0} ={x}){2}^{2} +{x}_{3}^{2} + \ldots +{x}){{n}}^{2} и раскроем скобки.Можно легко видеть, что пифагоровы тройки и четвёрки являются просточастными случаями {x}_{0} ={x}_{2}^{2} и {x}_{0}= {x}_{2}^{2} +{x}_{3}^{2} соответственно, что можнопродолжать для других n, используя формулу для пятёрки квадратов
(a^2-b^2-c^2-d^2)^2 + (2ab)^2 + (2ac)^2 + (2ad)^2 = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2.
 Поскольку сумма F(k,m) k последовательныхквадратов, начиная с {m}^{2}, задаётся формулой
F(k,m)=km(k-1+m)+\frac{k(k-1)(2k-1)}{6}
 можно найти значения (k, m) такие, чтоF(k,m) является квадратом. Так, Хиршхорн нашёлформулу для последовательностей, в которых число членов само являетсяквадратом,
m=\tfrac{v^4-24v^2-25}{48},\; k=v^2,\; F(m,k)=\tfrac{v^5+47v}{48}
 и v \geq 5 есть любое натуральное число, не делящееся на 2 или 3.Наименьшее значение v = 5, откуда k = 25, что даёт хорошоизвестное значение из задачи Люка складирования пушечных ядер,
0^2+1^2+2^2+\dots+24^2 = 70^2,
 факт, который связан с решёткой Лича.
 Кроме того, если в пифагоровом n-наборе ( n \geq 5 ) всеслагаемые являются последовательными натуральными числами, заисключением последнего, можно использовать равенство,
F(k,m) + p^{2} = (p+1)^{2}
 Поскольку вторая степень p сокращается, остаётся линейноеуравнение, которое легко решается p=\tfrac{F(k,m)-1}{2}, хотя kи m следует выбрать так, чтобы p был целым, и примерполучаем при k = 5 и m = 1,
1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+27^2=28^2
 Таким образом, получаем метод генерации пифагоровых n-наборовпутём подбора x,
x^2+(x+1)^2+\cdots +(x+q)^2+p^2=(p+1)^2,
 где q = n-2 и
p=\frac{(q+1)x^2+q(q+1)x+\frac{q(q+1)(2q+1)}{6} -1}{2}.

Великая теоремаФерма


 Обобщением концепции пифагоровых троек служит поиск троек натуральныхчисел a, b и c, таких, что{a}^{{n}} + {b}^{{n}}= {c}^{{n}} для некоторого n, большего2. Пьер Ферма в 1637 высказал утверждение, что таких троек несуществует, и это утверждение стало известно как Великая теорема Ферма,поскольку её доказательство или опровержение отняло много большевремени, чем любая другая гипотеза Ферма. Первое доказательство былодано Уайлсом в 1994.

n-1 или n n-х степеней как n-я степень


 Другим обобщением является поиск последовательностей из n + 1натуральных чисел, для которых n-я степень последнего членапоследовательности равна сумме n-х степеней предыдущих членов.Наименьшие последовательности для известных значений n:

  • {n} = 3: \{3, 4, 5; 6\}.
  • {n} = 4: \{30, 120, 272, 315; 353\}
  • {n} = 5: \{19, 43, 46, 47, 67; 72\}
  • {n} = 7: \{127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568\}
  • {n} = 8: \{90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409\}

 В слегка отличном обобщении сумма (k + 1) n-х степенейприравнивается сумме (n ? k) n-х степеней.Например:

  • ({n} = 3): 1^{3} + 12^{3} = 9^{3} + 10^{3}. Пример стал известным после воспоминаний Харди о разговоре с Рамануджаном о числе 1729, которое является наименьшим числом, которое можно представить в виде суммы двух кубов двумя различными способами.

 Может существовать также n ? 1 n-х степеней натуральныхчисел, дающих в сумме n-ю степень натурального числа (хотя,согласно великой теореме Ферма, не для n = 3). Этипоследовательности являются контрпримерами гипотезе Эйлера. Наименьшиеизвестные контрпримеры

  • {n} = 4: (95800, 217519, 414560; 422481)
  • {n} = 5: (27, 84, 110, 133; 144)

Тройки треугольникаГерона


Треугольник Герона обычно определяется как треугольник с целымисторонами, площадь которого тоже целое число, и мы будем полагать, чтостороны треугольника различны. Длины сторон такого треугольникаобразуют тройку Герона (a, b, c), где a< b < c. Ясно, что пифагоровы тройкиявляются тройками Герона, поскольку в пифагоровой тройке по меньшей мереодин из катетов a и b является чётным числом, так чтоплощадь треугольника ab/2 будет целым числом. Не всякая тройкаГерона является пифагоровой, поскольку, например, тройка (4, 13, 15) сплощадью 24 не пифагорова.
 Если (a, b, c) является тройкой Герона, то таковойбудет и (ma, mb, mc) при любом натуральномm, большим единицы. Тройка Герона (a, b, c)примитивна, если a, b и c попарно взаимнопросты (как и в случае пифагоровых троек). Ниже приведено несколькотроек Герона, не являющихся пифагоровыми:
 (4, 13, 15) с площадью 24
 (3, 25, 26) с площадью 36
 (7, 15, 20) с площадью 42
 (6, 25, 29) с площадью 60
 (11, 13, 20) с площадью 66
 (13, 14, 15) с площадью 84
 (13, 20, 21) с площадью 126
 По формуле Герона, чтобы тройка натуральных чисел (a, b,c) с a < b < c былатройкой Герона, необходимо, чтобы
({a}^{2} + {b}^{2} +{c}^{2})^{2} - 2({a}^{4} + {b}^{4} +{c}^{4})
 или, что то же самое,
2 ({a}^{2}{b}^{2} +{a}^{2}{c}^{2} +{b}^{2}{c}^{2}) -({a}^{4} + {b}^{4} +{c}^{4})
 было ненулевым полным квадратом, делящимся на 16.

Использование


 Примитивные пифагоровы тройки используются в криптографии в качествеслучайных последовательностей и для генерации ключей.