Дерево примитивных пифагоровых троек

Дерево примитивных пифагоровых троек — , образуемоепримитивными пифагоровыми тройками, то есть пифагоровымитройками, не имеющими общих делителей. Впервые открыто в 1934 годушведским математиком Берггреном.
 В 1963 году установлено, что при умножении справа любой из трёх матриц


 \{begin\{array\}\{lcr\} A =\{begin\{bmatrix\} 1 \& -2 \& 2\{\{ 2 \& -1 \& 2\{\{ 2 \& -2 \& 3\{end\{bmatrix\} \& B = \{begin\{bmatrix\} 1\& 2 \& 2 \{\{ 2 \& 1 \& 2\{\{ 2 \& 2 \& 3\{end\{bmatrix\} \& C = \{begin\{bmatrix\}-1 \& 2 \& 2 \{\{ -2 \& 1 \& 2\{\{ -2 \& 2 \& 3\{end\{bmatrix\} \{end\{array\} навектор-столбец, компоненты которого составляют пифагорову тройку,результатом будет вектор-столбец, компоненты которого составляют другуюпифагорову тройку. Если исходная тройка была примитивной, то таковойбудет и результирующая. Таким образом, каждая примитивная тройка имееттри «потомка». Все примитивные пифагоровы тройки являются потомкамитройки (3, 4, 5), и ни одна тройка при таком построении не появляетсядважды. Результат графически можно представить в виде бесконечноготроичного дерева с тройкой (3, 4, 5) в качестве корня.

Доказательство


Содержание в дереве исключительно примитивныхтроек


 По индукции можно доказать, что дерево содержит примитивные тройки иничего другого.

agraphПифагоровы тройки остаютсяпифагоровыми
 Прямым вычислением можно показать, что при умножении одной из вышеприведённых матриц на пифагорову тройку получим снова пифагорову тройку.

agraphСохранениепримитивности
 Все три матрицы A, B и C являются унимодулярными,то есть они имеют целочисленные элементы и их определители равны ± 1.Таким образом, обратные к ним также унимодулярны и, в частности, состояттолько из целочисленных элементов. Таким образом, при умножении любой изних, скажем A, на примитивную пифагорову тройку (a,b, c)\textsuperscriptT, получим другую тройку (d,e, f)\textsuperscriptT = A(a, b,c)\textsuperscriptT, а тогда (a, b,c)\textsuperscriptT = A\textsuperscript−1(d,e, f)\textsuperscriptT. Если какое-либо простое числоделит два из (а тогда и все три) d, e и f, тоотсюда вытекает, что это простое будет делить и каждое из чиселa, b и c. Таким образом, если a, b иc взаимно просты, то и d, e и f должны бытьвзаимно просты. Это утверждение также справедливо для матриц B иC.

Содержание в дереве всех примитивных троек ровно одинраз


 Чтобы показать, что дерево содержит любую примитивную тройку, но неболее чем один раз, достаточно показать, что от любой тройки существуетв точности один путь обратно к корню (3, 4, 5). Это можно показать, еслиприменить каждую из унимодулярных обратных матрицA\textsuperscript−1, B\textsuperscript−1 иC\textsuperscript−1 к произвольной примитивной пифагоровойтройке (d, e, f). Заметим, что по соображениям,приведённым выше, тройки остаются примитивными и пифагоровыми. Заметимтакже, что для любой примитивной тройки, большей (3, 4, 5), ровно однаобратная матрица даёт тройку с положительными элементами (и все меньшегипотенузы). По индукции эта новая тройка сама порождает ровно однуменьшую тройку и так далее. Поскольку гипотенуза положительна, она неможет уменьшаться бесконечно, и когда-нибудь будет достигнута тройка (3,4, 5). Это доказывает, что, тройка (d, e, f) должнаприсутствовать в дереве, и, поскольку путь только один, она должнапоявиться ровно один раз.

Свойства


 Преобразование с помощью матрицы A, если повторять с корня(a, b, c) = (3, 4, 5), сохраняет свойство b+ 1 = c. Матрица B сохраняет свойство a —b = ± 1, если начать с (3, 4, 5). Если начать с (3, 4, 5),матрица C сохраняет свойство a + 2 = c.
 Геометрическая интерпретация этих трёх свойств опирается на вневписанныеокружности. Три потомка каждого родительского треугольника «наследуют»радиус вписанной окружности от родителя — радиус вневписаннойокружности родителя становится радиусом вписанной окружности потомка.Например, родитель (3, 4, 5) имеет радиусы вневписанных окружностей 2, 3и 6. Это как раз радиусы вписанных окружностей потомков (5, 12, 13),(15, 8, 17) и (21, 20, 29) соответственно.
 Если матрицы A или C использовать последовательно, начинаяс некоторой пифагоровой тройки, то поведение a, b иc можно выразить как поведение x в уравнении

xn+33xn+2+3xn+1xn=0
 которое появляется из общего характеристического уравнения

λ33λ2+3λ1=0.
 Если применять последовательно B, то поведение чисел a,b и c можно выразить как поведение x в уравнении

xn+35xn+25xn+1+xn=0,
 которое появляется из характеристического уравнения для B.
 Более того, можно найти бесконечно много других рекуррентных уравнений,умножая эти три матрицы друг на друга произвольное число раз впроизвольной последовательности. Например, матрица D = CBперемещает вершину в дереве за один шаг на две позиции (напротив, затемвниз). Характеристическое уравнение для D даёт поведение любойтройки a, b и c в неполном дереве, образованномматрицей D.

Другие методы получениядерева


 Другой подход для этого дерева основывается на стандартной формулеполучения пифагоровых троек:

a=m2n2,
b=2mn,
c=m2+n2,
 с m \textgreater n \textgreater 0, где m иn взаимно просты и имеют различную чётность. Пары (m,n) можно получать путём умножения их (слева, при представленииэтой пары в виде столбца) на любую из матриц


 \{begin\{array\}\{lcr\} \{begin\{bmatrix\} 2\& -1 \{\{ 1 \& 0\{end\{bmatrix\}, \& \{begin\{bmatrix\} 2 \&1 \{\{ 1 \& 0\{end\{bmatrix\}, \& \{begin\{bmatrix\} 1 \&2 \{\{ 0 \& 1\{end\{bmatrix\}, \{end\{array\}
 Умножение на любую из этих матриц сохраняет неравенство чисел, взаимнуюпростоту и противоположность чётности. Результирующее троичное деревосодержит все такие пары (m, n) ровно раз, а если перевестиих в тройки (a, b, c), дерево становится тем же,что и описано выше.
 Ещё один способ, использующий два параметра для генерации троекиспользует альтернативную формулу для всех примитивных троек:

a=uv,
b=u2v22,
c=u2+v22,
 с u \textgreater v \textgreater 0, где u иv взаимно просты и нечётны. Пары (u, v)можно получать путём умножения слева (если представить эту пару в видевектор-столбца) на одну из вышеприведённых 2 × 2 матриц, при этом будетсохраняться неравенство чисел, взаимная простота и нечётность. Еслипроцесс начать с (3, 1), результирующее дерево содержит каждую пару(u, v) ровно раз, а при приведении к тройкам (a,b, c) дерево становится тем же самым, что и выше.

Другоедерево


 В 2008 году обнаружено, что отличное от вышеприведённого дерево можнополучить сходным образом, если использовать матрицы:


 \{begin\{array\}\{lcr\} A' =\{begin\{bmatrix\} 2 \& 1 \& -1\{\{ -2 \& 2 \& 2\{\{ -2 \& 1 \& 3\{end\{bmatrix\} \& B' = \{begin\{bmatrix\}2 \& 1 \& 1 \{\{ 2 \& -2 \& 2\{\{ 2 \& -1 \& 3\{end\{bmatrix\} \& C' = \{begin\{bmatrix\}2 \& -1 \& 1 \{\{ 2 \& 2 \& 2\{\{ 2 \& 1 \& 3\{end\{bmatrix\} \{end\{array\}
 .