Папп Александрийский

Папп Александрийский — математик и механик эпохи позднего эллинизма, жившийи работавший в Александрии.Ни год рождения, ни год смерти Паппа не известны. Одни источники относятего деятельность ко 2-й половине III века, другие — к IV веку;советский историк науки Н. Д. Моисеев писал, что Папп «жил, по всейвероятности, в конце III или в начале IV века».

Трактат «Математическоесобрание»

Главный труд Паппа — трактат «Математическое собрание» в восьмикнигах, который дошёл до нас не полностью. Это сочинение представляетсобой учебное руководство для изучающих греческую геометрию — скомментариями, историческими справками, с улучшением и видоизменениемизвестных теорем и доказательств, а также с некоторыми собственнымирезультатами автора. В частности, в трактате содержатся работы Автоликаиз Питаны, Менелая Александрийского, Феодосия, ряд задач опропорциональности, описание способов вписания пяти правильныхмногогранников в сферу, сведения о спирали Архимеда и конхоиде Никомеда,об изопериметрических фигурах, работы по механике Архимеда, ФилонаВизантийского, Герона Александрийского, определение конических сеченийпри помощи директрисы и другие задачи. Здесь же приведена теорема Паппа.Многие результаты античных авторов известны только в той форме, в какойони сохранились у Паппа (например, задачи о квадратуре круга, удвоениикуба и трисекции угла). Полуправильные тела Архимеда тоже известны намблагодаря Паппу. Впрочем, сочинение Паппа долгое время оставалосьнеизвестным западноевропейским учёным; с ним они смогли познакомитьсялишь после того, как Федерико Коммандино перевёл этот трактат налатинский язык перевод был издан в 1588 г.

Обзор книгтрактата

Две первые книги трактата до нас не дошли. Пропавшие книги содержали,по-видимому, обзор древнегреческой арифметики (на это указываютсохранившиеся отрывки — в частности, отрывок, посвящённый методуумножения Аполлония).В третьей книге излагается история решения задач удвоении куба итрисекции угла (Папп даёт и своё решение первой из них, которое сводитсяк построению двух средних геометрических между двумя данными отрезкамипо способам Эратосфена, Никомеда, Герона и самого Паппа). В нейизлагается также учение о средних, начиная с построения на одном чертежеарифметического, геометрического и гармонического средних; находитсяотношение суммы двух отрезков, проведённых от точки внутри треугольникак двум точкам его стороны, к сумме двух других сторон; рассматриваетсяпостроение пяти правильных многогранников, вписанных в шар. В четвёртуюкнигу вошли задачи, относящиеся к построению кривых двоякой кривизны иповерхностей; рассматриваются учение о секущих круга, спирали Архимеда,конхоида Никомеда и квадратриса Динострата. В пятой книге первую еёполовину составляет изложение учения Зенодора об изопериметрическихсвойствах плоских фигур и поверхностей (здесь, в частности, Паппприводит утверждение о том, что круг имеет бóльшую площадь, чем любойправильный многоугольник того же периметра), а вторую половину —учение о правильных телах.В шестой книге, посвящённой астрономии, разрешаются затруднения,встречаемые в «Малом астрономе» — собрании сочинений для изучения«Альмагеста» Птолемея, куда входили «Сферика» Феодосия, трактат «Овращающейся сфере» Автолика из Питаны, сочинение «О величинах ирасстояниях» Аристарха Самосского (где даются оценки расстояниям доСолнца и Луны), «Оптика» и «Феномены» Евклида.В седьмой книге представлены вспомогательные предложения, необходимыедля решения задач на построение (Папп рассматривает в этой связи«Данные», «Поризмы», «Места на поверхности», «Плоские места»,«Конические сечения» Евклида, «Отсечение отношения», «Отсечениеплощади», «Определённое сечение», «Вставки», «Касания», «Плоские места»Аполлония, «Телесные места» Аристея, «Средние величины» Эратосфена), иразъясняются на примерах методы анализа и синтеза, развитыедревнегреческими учёными. Затем рассматривается задача Паппа: вней для n прямых на плоскости требуется найти геометрическоеместо таких точек, для которых произведение длин отрезков, проведённыхиз этих точек к n/2 данных прямых под одинаковыми углами, имеетзаданное отношение к аналогичному произведению длин отрезков,проведённых к оставшимся прямым; для значительной части случаев Паппдоказал, что искомое геометрическое место является коническим сечением.В седьмой книге формулируются и теоремы, ныне известные как теоремыПаппа — Гульдина. Оставшуюся часть седьмой книги занимают комментариик работам Аполлония о трансверсалях и ангармоническом отношении.Восьмая книга «Математического собрания» представляет собой компиляциюразнородных сведений и собственных исследований Паппа, имеющих отношениек механике. В ней попали, в частности, некоторые теоремы метрическойгеометрии, которые имеют более или менее далёкое отношение к расчётамразмеров колонн и к расчётам размеров и расположения зубьев в зубчатыхколёсах. В книгу включены также описания устройства грузоподъёмных машини некоторые сведения из геометрической статики (в основном, касающиесянахождения центров тяжести геометрических фигур, а также равновесиюгруза на наклонной плоскости). Среди теорем, помещённых в восьмой книге,имеется, в частности, такая кинематическая теорема: при одновременномдвижении трёх материальных точек, находившихся в начальный моментвремени в вершинах некоторого треугольника, по сторонам треугольника соскоростями, пропорциональными длинам этих сторон, то положение центратяжести данных точек остаётся неизменным. Здесь же рассматриваетсяизобретённый Архимедом и описанный Героном Александрийским передаточныймеханизм из зубчатых колёс, позволяющий приводить в движение даннуютяжесть данной силой.

Другиесочинения

Из не дошедших до нас сочинений Паппа известны комментарии к«Альмагесту» Птолемея, «Аналемме» Диодора и «Началам» Евклида.