Брахмагупта

Брахмагупта, Брамагупта (, ок. 598—670) —индийский и . Руководил обсерваторией в Удджайне. Оказал существенноевлияние на развитие астрономии в Византии и исламских странах, сталиспользовать алгебраические методы для астрономических вычислений, ввёлправила операций с нулём, положительными и отрицательными величинами. Донашего времени сохранилось его основное сочинение «»(«Усовершенствованное учение Брахмы», или «Пересмотр системы Брахмы»).Большая часть сочинения посвящена астрономии, две главы (12-я и 18-я)математике.

Биография


 Брахмагупта родился приблизительно в 598 году. Это следует из книги«Брахма-спхута-сиддханта», в которой он сообщает, что написал этот текств возрасте 30 лет в 628 году (Śaka 550). Брахмагупта родился вБхилламале (современный Бхинмал в штате Раджастхан Северо-ЗападнойИндии), который в то время был столицей земель династии Gurjara. Егоотцом был Джиснугупта. Вероятно, он прожил большую часть жизни вБхинмале во время правления (и, возможно, под покровительством)правителя Вьяграмукхи, поэтому его нередко именуют Бхилламакарья(учитель из Бхиллама). Брахмагупта был руководителем астрономическойобсерватории в Удджайне. Обсерватория, в которой также работалВарахамихира, была лучшей в древней Индии.
 На исследования Брахмагупты оказали серьёзное влияние его религиозныевзгляды. Будучи правоверным индуистом, он критиковал космогологическиевоззрения некоторых его современников, в частности точку зренияАриабхаты, утверждающего что Земля есть вращающаяся сфера. Брахмагуптаспорил с Ариабхатой и о природе солнечных затмений:
\beginquoteСреди людей есть такие, которые думают, что затмения вызываются неГоловой [дракона Раху]. Это абсурдное мнение, ибо это она вызываетзатмения, и большинство жителей мира говорят, что именно она вызываетих. В Ведах, которые есть Слово Божие, из уст Брахмы говорится, чтоГолова вызывает затмения. Напротив того, Ариабхата, идя наперекор всем,из вражды к упомянутым священным словам утверждает, что затмениевызывается не Головой, а только Луной и тенью Земли\ldots Эти авторыдолжны подчиниться большинству, ибо всё, что есть в Ведах — священно.\endquote

 Хотя Брахмагупта был знаком с работами Ариабхаты, неизвестно, был ли онзнаком также с работами Бхаскары. Работы Брахмагупты содержатмногочисленные критические замечания в адрес современных ему астрономов,а содержание «Брахма-спхута-сиддханты» свидетельствует о расколе средииндийских математиков того времени. Разногласия были обусловлены взначительной степени выбором астрономических параметров и теории.Критика теорий оппонентов Брахмагупты содержится в первых двенадцатиглавах «Брахма-спхута-сиддханты» и отсутствует в тринадцатой ивосемнадцатой главах.
 Арабский учёный Аль-Бируни в своей книге «Китаб аль-Хинд» (около 1035)проанализировал и описал идеи индийских астрономов. В своей работе онссылается на Брахмагупту как самый крупный авторитет.

Основныетруды


 Известно два основных труда Брахмагупты: Brahmasphutasiddhanta(Брахма-спхута-сиддханта) (628), Khandakhadyaka (Кхандакхадьяка) (665).

Брахма-спхута-сиддханта


 «Брахма-спхута-сиддханта» («Усовершенствованное учение Брахмы», или«Пересмотр системы Брахмы») — самый известный труд Брахмагупты,посвящённый математике и астрономии. Трактат написан стихами и содержиттолько результаты без доказательств. Труд состоит из 25 глав (в другихисточниках говорится о 24 главах и приложении с таблицами).
 Первые 10 глав, которые представляют собой типичный текст по астрономиитого периода, часто рассматриваются отдельно как первая версия работы,так как существуют манускрипты, содержащие только эти главы. Этот текстносит название Daśādhyāyī. В нём содержатся в частности расчёты среднейи истинной долготы, вычисление суточного вращения, расчёт солнечных илунных затмений, методы расчета положения небесных тел с течениемвремени (эфемериды), их восходов и заходов, соединений.
 Следующие 15 глав содержат значительные дополнения и уточнения к первымглавам, а также главы по математике. Математические главы даютпредставление о двух основных подходах индийских математиков:«математика процедур», или алгоритмы, и «математика семян», илиуравнения. 12-я глава книги носит название «Математика», она посвященапростейшим арифметическим операциям, пропорциям, задачам на смешение ирядам, что составляло основную часть практической математики во временаБрахмагупты. 18-я глава, «Распылитель», имеет прямое отношение калгебре, но поскольку такого термина ещё не существовало, названа попервой задаче, рассматриваемой в главе.
 Во второй половине VIII века, когда багдадский халиф из династииАббасидов Абу-ль-Аббас Абд-Аллах аль-Мамун (712—775) был с посольствомв Индии, пригласил в Багдад учёного из Удджайна по имени Канках, которыйпреподавал индийскую систему астрономии на основе«Брахма-спхута-сиддханта». Халиф заказал письменный перевод книги наарабский язык, который был осуществлён математиком и философом Ибрахимомаль-Фазари в 771 году. Перевод, выполненный в виде таблиц — зиджа —с необходимыми пояснениями и рекомендациями, получил название «БольшойСиндхинд». Известно, что этой работой пользовался ал-Хорезми длянаписания своих трудов по астрономии («Зидж ал-Хорезми») и арифметике(«Книга об индийском счёте»). Считается, что перевод последней в XI векена латинский язык сыграл решающую роль в распространении позиционнойсистемы счисления.
 «Брахма-спхута-сиддханта» была переведена китайскими математикамиVII—IX веков (известно по крайней мере четыре перевода), позволивтаким образом распространить десятичную систему среди китайских учёных.В 1817 году две математические главы были переведены на английский ГенриТомасом Колбруком.
 В 860 году индийский математик Prthudakasvami написал комментарии кработе, которые носят название Vāsanābhāṣya. От полных комментариевсохранилось только несколько манускриптов. Известно также несколькоанонимных комментариев к полной версии сочинения и к первым десятиглавам. В Индии работа Брахмагупты была опубликована в 1902 и 1966годах.

Кхандакхадьяка


 Вторая работа Брахмагупты, Кхандакхадьяка (A Piece Eatable), быланаписана в 665 году. Она состоит из 8 глав. В этой работе Брахмагуптауточнил и упростил ряд астрономических расчётов, пользуясь во многомсистемой, предложенной Ариабхатой. Кроме того, она включаетинтерполяционную формулу для вычисления синусов. В VIII векеКхандакхадьяка была переведена на арабский язык под названием «Арканд».
 Комментарии к Кхандакхадьяке были написаны в 864, 966, 1040, 1180 годы,некоторые из них не сохранились. Сама книга была напечатана в Калькуттев 1925 и 1941 году. Перевод на английский язык осуществил Сенгупта(Prabodh Chandra Sengupta) в 1934 году.

Вклад вматематику


 В своей работе Брахма-спхута-сиддханта Брахмагупта дал определение нулякак результат вычитания из числа самого числа. Он одним из первыхустановил правила арифметических операций над положительными иотрицательными числами и нулём, рассматривая при этом положительныечисла как имущество, а отрицательные числа как долг. Далее Брахмагуптапытался расширить арифметику дав определение деления на ноль. СогласноБрахмагупте,

  • Деление нуля на нуль есть нуль;
  • Деление положительного или отрицательного числа на нуль есть дробь с нулём в знаменателе;
  • Деление нуля на положительное или отрицательное число есть нуль.

 Брахмагупта предложил три метода умножения многозначных чисел в столбик(основной и два упрощённых), которые близки к тем, что используются внастоящее время. Основной метод Брахмагупта назвал «gomutrika», что впереводе Ифра означает «как траектория мочи коровы» .
 Брахмагупта также предложил метод приближённого вычисления квадратногокорня, эквивалентный итерационной формуле Ньютона (Newton-Raphson),метод решения некоторых неопределённых квадратных уравнений видаax²+c=y², метод решения неопределённых линейных уравнений вида ax+c=by,используя метод последовательных дробей.
 Он определил сумму квадратов и кубов первых n чисел через сумму первых nчисел, утверждая что «Сумма квадратов есть сумма чисел умноженная наудвоенное число шагов, увеличенное на единицу, и делённая на три. Суммакубов есть квадрат суммы чисел до одного и того же числа». Формулы,которые можно записать как \ldots, приводятся без доказательства.
 В работе Кхандакхадьяка Брахмагупта предложил интерполяционную формулувторого порядка, являющуюся частным случаем выведенной более чем через1000 лет интерполяционной формулы Ньютона — Стирлинга. Он использовалеё для интерполяции значений синуса в составленных им тригонометрическихтаблицах. Формула даёт оценку значения функции при значении её аргумента(при и ), когда её значение уже известно в точках , и . Она записываетсяследующим образом:

f(a+xh)f(a)+x(Δf(a)+Δf(ah)2)+x2Δ2f(ah)2!,
 где  — оператор восходящей конечной разности первого порядка, то есть

Δf(a) =def f(a+h)f(a).
 Брахмагупта предложил формулу вычисления площади четырёхугольника,вписанного в окружность. Формула Брахмагупты является обобщением формулыГерона для площади треугольника. А именно, площадь вписанного вокружность четырёхугольника со сторонами и полупериметром равна

S=(pa)(pb)(pc)(pd).
 При этом сам Брахмагупта не уточнил, что формула верна только длячетырёхугольников, которые можно вписать в окружность, поэтому некоторыеисторики полагают здесь ошибку Брахмагупты.
 Известна ещё одна формула Брахмагупты для радиуса описанной окружностипроизвольного треугольника:

R=ab2hc=bc2ha=ac2hb,
 где  — стороны треугольника, и  — его высоты.

agraphТождествоБрахмагупты
 Тождество Брахмагупты утверждает, что произведение двух сумм двухквадратов само является суммой двух квадратов, причём двояким образом.

(a2+b2)(c2+d2)=(acbd)2+(ad+bc)2=(ac+bd)2+(adbc)2.
 К примеру,

(12+42)(22+72)=262+152=302+12.

agraphТеоремаБрахмагупты
 Пусть имеется вписанный четырёхугольник, диагонали которого взаимноперпендикулярны. Опустим из точки пересечения диагоналей перпендикулярна одну из его сторон. Будучи продолженным по другую сторону от точкипересечения диагоналей, этот перпендикуляр делит противоположную сторонучетырёхугольника на две равные части.

agraphЗадачаБрахмагупты
 Задача Брахмагупты — построить с помощью циркуля и линейки вписанныйчетырёхугольник по четырём его сторонам. Одно из решений используетокружность Аполлония.

Вклад вастрономию


 Брахмагупта полагал Землю неподвижной (не вращающейся вокруг своей оси)и в своей работе Брахма-спхута-сиддханта указал продолжительность годакак 365 дней 6 часов 5 минут и 19 секунд, в то же время в последующейработе Кхандакхадьяка продолжительность года указана как 365 дней 6часов 12 минут и 36 секунд. Возможно, что второе значение было взято уАриабхаты.
 Астрономические представления Брахмагупты, изложенные вБрахма-спхута-сиддханта, свидетельствуют о высоком уровне егоисследований и научной прозорливости. Так, в седьмой главе труда,которая называется «О затмении Луны», Брахмагупта опровергаетпредставление о том, что Луна находится дальше от Земли, чем Солнце.
 7.1. Если бы Луна была выше Солнца, то её ближняя к Солнцу половинавсегда была бы освещена.
 7.2. Аналогично, освещенная Солнцем часть Луны всегда была бы видна, анеосвещенная часть оставалась бы невидимой.
 7.3. Яркость [освещённой части Луны] увеличивается в направленииСолнца. В конце светлого полумесяца половина освещена и другая половинатемна. Таким образом, высота рогов полумесяца может быть вычислена.
 Брахмагупта объясняет, что поскольку Луна ближе к Земле, чем Солнце,степень освещенности Луны зависит от взаимного расположения Солнца иЛуны, и может быть вычислена исходя из величины угла между этими двумянебесными телами.
 Важным вкладом Брахмагупты в астрономию являются методы расчетаположения небесных тел с течением времени (эфемериды), их восходов изаходов, соединений, а также расчёта солнечных и лунных затмений.Брахмагупта подвёрг критике представления пуранической космологии о том,что Земля является плоской или полой. Он утверждал что Земля и небоимеют сферическую форму и что Земля движется. В 1030 газневидскийастроном Абу аль-Райхан аль-Бируни в своем труде «Та'рих аль-Хинд»,прокомментировал работу Брахмагупты. Бируни отмечал, что на замечаниякритиков теории шарообразной Земли («Если бы это было так, камни идеревья будут падать с земли») Брахмагупта ответил: «Напротив, если быэто было так, то Земля не могла бы сохранять свою форму даже в течениеминут. [\ldots] Все тяжелые вещи притягиваются к центру земли[\ldots] Земля одинакова со всех сторон. Все люди на Земле стоят,и все тяжелые вещи падают на землю по закону природы, так устроенаприрода Земли, чтобы притягивать и держать вещи, также как природаводы — течь, огня — гореть, ветра — приводить в движение \ldotsЗемля — это единственная низкая вещь, все предметы всегда вернутся кней из любого направления, куда бы вы их не бросили, и никогда неподнимутся вверх от земли».
 О силе тяжести Земли Брахмагупта говорил: «Тела падают на землю, так какэто в природе Земли — притягивать их, так же как в природе воды-течь.»

Сочинения


 Основной труд Брахмагупты, «Усовершенствованное учение Брахмы»(«Брахма-спхута-сиддханта», 628), содержит
 Вторая работа Брахмагупты, «Кхандакхадьяка» (655), также представляетсобой фундаментальный труд по астрономии.

Публикации



  • Brahmagupta. Brahma-Sphuta-Siddhanta. New Delhi, 1966. vol. 1.