Loading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/jax.js

Гамильтон Уильям Роуэн

 Сэр Уильям Роуэн Гамильтон ( 4 августа 1805 — 2 сентября1865) — ирландский , -теоретик, -теоретик, «один из лучших математиковXIX века». Известен фундаментальными открытиями в математике(кватернионы, основы векторного анализа, вариационное исчисление,обоснование комплексных чисел), аналитической механике (гамильтоновамеханика) и оптике. Автор предельно общего вариационного принципанаименьшего действия, применяемого во многих разделах физики.
 Королевский астроном Ирландии (1827—1865). Член Ирландской королевскойакадемии (1837; в 1837—1845 годах — её президент).Член-корреспондент многих академий наук и научных обществ, в том числеРоссийской академии наук (1837), первый иностранный член Национальнойакадемии наук США (1864). Академик А. Н. Крылов писал, что Гамильтон —«один из величайших математиков, отличавшийся многочисленностью своихработ, важностью заключавшихся в них открытий, глубиною мысли,оригинальностью методов, вместе с тем и как вычислитель имевший малосебе равных».

Биография


Детство июность


 Гамильтон был четвёртым из девяти детей в семье ирландки Сары Хаттон (,1780—1817) и полуирландца, полушотландца Арчибальда Гамильтона (,1778—1819). Арчибальд, родом из городка Данбойн, работал в Дублинеюристом. Из-за финансовых затруднений и плохого здоровья родителей былорешено с годовалого возраста передать мальчика на воспитание дяде поотцу. Дядя, Джеймс Гамильтон, человек хорошо образованный, служилвикарием и учителем в городе Трим; он с симпатией отнёсся к племяннику ивсячески помогал его развитию. Вскоре Уильям окончательно остался безродителей — мать умерла, когда мальчику было 12 лет, отец пережил еёна два года. Позднее Гамильтон взял на себя заботу о трёх своихосиротевших сёстрах.
 Уже в детстве мальчик проявил необыкновенные дарования. В 3 года онсвободно читал и начал осваивать арифметику. В 7 лет он знал латынь,греческий и древнееврейский языки. В 12 — под руководством дядиДжеймса, хорошего лингвиста, — знал уже 12 языков и среди нихперсидский, арабский и санскрит. В 13 лет он написал руководство посирийской грамматике. Литературу и поэзию Гамильтон всю жизнь высокоценил и время от времени сам пробовал писать стихи. Среди еголитературных знакомых были знаменитый поэт-романтик Уильям Вордсворт,дружба между ними продолжалась до конца жизни Вордсворта, а также СэмюэлКольридж, с которым Гамильтон завязал оживлённую переписку.
 После языков настала пора увлечения математикой. Ещё в десятилетнемвозрасте Гамильтону попался латинский перевод «Начал» Евклида, и ондетально изучил это сочинение; в 13 лет он прочёл «Универсальнуюарифметику» Ньютона; в 16 лет — большую часть «Математических началнатуральной философии» Ньютона (при этом Гамильтон — по работам Клерои Лапласа — изучал и континентальную математику, что в Великобританиибыло ещё новостью). В 17 лет Уильям приступил к изучению «Небесноймеханики» Лапласа; в этом трактате он обнаружил логическую ошибку исообщил о ней королевскому астроному Ирландии Джону Бринкли. Тот оценилспособности юноши и стал помогать его научному развитию. Надо отметить,что крупных учёных в Ирландии было совсем мало, и фактически Гамильтонизучал математику и физику самоучкой, в затруднительных случаях прибегаяк помощи Бринкли. Ирландская писательница Мария Эджуорт, с семьёйкоторой подружился Уильям, назвала его «чудом талантливости, о которомпрофессор Бринкли говорит, что он может стать вторым Ньютоном».
 В 1815—1823 годах Уильям учился в школе, затем 18-летний юношапоступил в Тринити-колледж Дублинского университета. Там он показалстоль блестящие способности (первый по всем предметам), что в 1827 году,ещё 22-летним студентом, по рекомендации ушедшего в отставку Бринкли былназначен на его место — профессором астрономии в Дублинскомуниверситете и королевским астрономом Ирландии. В университете бывшийстудент Гамильтон, так никогда и не защитивший диссертацию, читал курснебесной механики.

Королевскийастроном


 В 1827 году Гамильтон занял пост королевского астронома Ирландии (чтоавтоматически означало по совместительству пост директора Дансинкскойобсерватории) и занимал его на протяжении 38 лет — дольше, чем кто быто ни было на этой должности. Он опубликовал ряд работ по геометрическойоптике, представляющих большую ценность для теории оптическихинструментов, но чисто астрономическими проблемами занимался мало;комиссии из Лондона дважды подвергали его критике за недостаточноеусердие.
 В 1833 году Гамильтон женился на Хелен Бэйли (Helen MariaBayley). У них родились два сына и дочь. Брак оказался не слишкомудачным, и Гамильтон начал злоупотреблять алкоголем.
 В период 1834—1835 годов появились классические работы по«гамильтоновой механике». Шотландский математик Питер Тэт назвал этиработы «крупнейшим дополнением теоретической динамики со времени великихэпох Ньютона и Лагранжа». За открытия в оптике и по совокупности научныхзаслуг вице-король Ирландии возвёл Гамильтона в рыцарское достоинство(1835) и назначил ежегодное пособие в 200 фунтов, а лондонскоеКоролевское общество наградило его (совместно с Фарадеем) Королевскоймедалью.
 Однако впереди был ещё целый ряд крупных открытий. В том же 1835 годуГамильтон завершил разработку нового, чрезвычайно общего подхода крешению задач динамики в виде вариационного принципа (принципГамильтона). Спустя почти столетие именно этот подход оказался ключевымдля создания квантовой механики, а открытый Гамильтоном вариационныйпринцип с успехом был использован при разработке уравнений поля общейтеории относительности.
 В 1837 году Гамильтона избрали президентом Ирландской королевскойакадемии. В том же году по представлению академиков В. Я. Буняковского,М. В. Остроградского и П. Н. Фусса он был избран членом-корреспондентомПетербургской академии наук за работу «Об общем методе в динамике».
 1843 год стал в жизни Гамильтона переломным. В этом году он открылалгебраическую систему кватернионов — обобщение системы комплексныхчисел — и оставшиеся два десятилетия своей жизни посвятил ихисследованию. В Великобритании теорию кватернионов встретили снеобыкновенным энтузиазмом и «глубоким уважением, доходящим доблагоговения» в Ирландии (а затем — и в Англии) она стала обязательнымэлементом образования.
 В 1846 году случился неприятный скандал на обеде Геологическойассоциации, куда Гамильтон явился в состоянии чрезвычайно сильногоопьянения: в результате он подал в отставку с поста президентаИрландской академии. Год спустя скончался дядя Джеймс, заменившийУильяму отца.
 Весной 1865 года здоровье Гамильтона стало быстро ухудшаться. Своймноголетний труд, монографию «Элементы кватернионов», он успел завершитьза несколько дней до смерти. Гамильтон скончался 2 сентября в возрасте60 лет. Похоронен на дублинском кладбище Mount Jerome Cemetery andCrematorium.

Научныйвклад


 Во всех своих основных работах Гамильтон стремился поставить и решитьзадачу максимально общим, универсальным способом, глубоко исследоватьоткрытые им методы и ясно очертить области их практического применения.

Математика



agraphТеория комплексныхчисел
 В 1835 году Гамильтон опубликовал работу «Теория алгебраических пар»(Theory of Algebraic Couples), в которой дал строгое построениетеории комплексных чисел. Если Эйлер рассматривал комплексное число какформальную сумму a+bi, а Вессель и Гаусс пришли к геометрическойинтерпретации комплексных чисел, трактуя их как точки координатнойплоскости (причём последний в 1831 году в работе «Теория биквадратныхвычетов» также предложил вполне строгое построение алгебры комплексныхчисел), то Гамильтон (вероятно, не знакомый с работой Гаусса)рассматривал комплексное число как пару (a,b) действительных чисел.Ныне все три подхода распространены в равной мере; при этом с появлениемработ Гаусса и Гамильтона был снят вопрос о непротиворечивости теориикомплексных чисел (точнее, он был сведён к вопросу о непротиворечивоститеории действительных чисел). Файл:William Rowan Hamilton Plaque -geograph.org.uk - 347941.jpg\textbarthumb\textbar300px\textbar
 Памятная табличка на мосту Брум Бридж в Дублине: «Здесь на прогулке, 16октября 1843 года, сэр Уильям Роуэн Гамильтон, во вспышке гения, открылформулу умножения кватернионов»
 планиметрии и при решении двумерных задач математической физики. Пытаясьдобиться аналогичного результата в пространственном случае, Гамильтон втечение нескольких лет работал над обобщением понятия комплексного числаи созданием полноценной системы «чисел» из троек действительныхчисел (сложение должно было — как и для комплексных чисел — бытьпокомпонентным; проблема состояла в надлежащем определении умножения).Не преуспев в этом, он обратился к четвёркам действительныхчисел. Озарение пришло к нему в один из октябрьских дней 1843 года —во время прогулки по дублинскому мосту; так появились кватернионы.

agraphТеориякватернионов
Создание теориикватернионов
 Для открытых им «четырёхчленных чисел» Гамильтон ввёл названиекватернионы — от `по четыре'. Наряду с представлениемкватернионов четвёрками действительных чисел он — по аналогии скомплексными числами — записывал кватернионы и как формальные суммывида

()q=a+bi+cj+dk,
 где i,j,k — три кватернионные единицы (аналоги мнимой единицыi). Предполагая умножение кватернионов дистрибутивным относительносложения, Гамильтон свёл определение операции умножения кватернионов кзаданию таблицы умножения для базовых единиц 1,i,j,k вида :
×1ijk11ijkii1kjjjk1ikkji1
 Из таблицы видно, что умножение кватернионов не является коммутативным(поэтому алгебраическая система кватернионов является телом, но неполем). В 1878 году Г. Фробениус объяснил причину неуспеха Гамильтона стройками действительных чисел, доказав следующее утверждение(теорема Фробениуса): над полем действительных чисел Rсуществуют лишь три конечномерные ассоциативные алгебры с делением: самоR, поле комплексных чисел C и тело кватернионовH.
 Два следующих десятилетия Гамильтон посвятил подробному исследованиюновых чисел и практическим приложениям, написав на эту тему 109 статей идве объёмные монографии «Лекции о кватернионах» и «Элементыкватернионов». Правую часть формулы () он рассматривал как сумму двухслагаемых: скалярной части (число a) и векторной части(оставшаяся часть суммы) позднее некоторые авторы использовалисоответственно выражения «вещественная часть» и «мнимая часть». Так вматематику впервые вошли слова вектор (1847 г.) применительно ккватерниону с нулевой скалярной частью и скаляр (1853 г.)применительно к кватерниону с нулевой векторной частью. В качествевекторной и скалярной частей кватернионного произведения двух векторовпоявились на свет соответственно векторное и скалярное произведения.
Приложениякватернионов
 Крупнейшим продолжателем работ Гамильтона и популяризатором кватернионовстал его ученик — шотландский математик Питер Тэт, предложивший дляних множество приложений к геометрии, сферической тригонометрии ифизике. Одним из первых таких приложений стало изучение пространственныхпреобразований. Комплексные числа успешно используются для моделированияпроизвольных движений на плоскости: сложению чисел соответствует переносточек комплексной плоскости, а умножению — поворот (с одновременнымрастяжением, если модуль множителя отличен от 1).
 Аналогично кватернионы представляют собой удобный инструмент дляисследования движений в трёхмерном евклидовом пространстве (см.Кватернионы и вращение пространства): такое их использование основано нагеометро-числовой интерпретации кватернионов, при которойкватернионным единицам сопоставляются (в современной терминологии)векторы некоторого правого ортонормированного базиса в трёхмерномпространстве. Тогда устанавливается взаимно однозначное соответствиемежду трёхмерными поворотами и внутренними автоморфизмами телакватернионов; каждый такой автоморфизм может быть порождён кватерниономс модулем, равным 1 (модуль кватерниона q определяется каккорень квадратный из суммы квадратов его компонентов a,b,c,d), причёмданный кватернион, называемый кватернионом поворота, определяетсяс точностью до знака. При этом последовательному выполнению двухповоротов соответствует умножение соответствующих кватернионов поворота.Этот факт, кстати, ещё раз иллюстрирует некоммутативность умножениякватернионов, поскольку результат выполнения двух трёхмерных поворотовсущественно зависит от порядка их выполнения.
 В ходе исследований кватернионов Гамильтон попутно ввёл понятиевекторного поля (сам термин «поле» у него ещё отсутствует, вместонего использовалось понятие векторной функции точки) и заложил основывекторного анализа. Символика Гамильтона (в частности, введённый имоператор набла) позволила ему компактно записывать основныедифференциальные операторы векторного анализа: градиент, ротор идивергенцию . На основе работ Гамильтона Гиббс и Хевисайд выделили иразвили систему векторного анализа, уже отделённую от теориикватернионов; она оказалась чрезвычайно полезной в прикладной математикеи вошла в учебники.
 Максвелл ознакомился с кватернионами благодаря Тэту, своему школьномудругу, и высоко их оценил: «Изобретение исчисления кватернионов есть шагвперёд в познании величин, связанных с пространством, который по своейважности можно сравнить только с изобретением пространственных координатДекартом». В ранних статьях Максвелла по теории электромагнитного полякватернионная символика применяется для представления дифференциальныхоператоров, тем не менее в последних своих работах Максвелл отказался откватернионной символики в пользу более удобного и наглядного векторногоанализа Гиббса и Хевисайда.
Историческое значение теориикватернионов
 В XX веке были сделаны несколько попыток использовать кватернионныемодели в квантовой механике и теории относительности. Реальноеприменение кватернионы нашли в современной компьютерной графике ипрограммировании игр, а также в вычислительной механике, в инерциальнойнавигации и теории управления. С 2003 года издаётся журнал«Гиперкомплексные числа в геометрии и физике».
 Феликс Клейн высказал мнение, что «кватернионы хороши и применимы насвоём месте, но они не имеют всё же такого значения, какое имеютобыкновенные комплексные числа». Во многих областях применения былинайдены более общие и практичные средства, чем кватернионы. Например, внаши дни для исследования движений в пространстве чаще всего применяетсяматричное исчисление однако там, где важно задавать трёхмерный поворотпри помощи минимального числа скалярных параметров, использованиепараметров Родрига — Гамильтона (то есть четырёх компонент кватернионаповорота) весьма часто оказывается предпочтительным: такое описаниеникогда не вырождается, а при описании поворотов тремя параметрами(например, углами Эйлера) всегда существуют критические значения этихпараметров, когда описание вырождается.
 В любом случае исторический вклад кватернионов в развитие математики былнеоценим. Анри Пуанкаре писал: «Их появление дало мощный толчок развитиюалгебры; исходя от них, наука пошла по пути обобщения понятия числа,придя к концепциям матрицы и линейного оператора, пронизывающимсовременную математику. Это была революция в арифметике, подобная той,которую сделал Лобачевский в геометрии».

agraphДругие областиматематики

Геометрия


 В 1861 г. Гамильтон в области планиметрии доказал носящую его имятеорему Гамильтона: Три отрезка прямых, соединяющих ортоцентр свершинами остроугольного треугольника, разбивают его на тритреугольника Гамильтона, имеющих ту же самую окружность Эйлера(окружность девяти точек), что и исходный остроугольный треугольник.
 В 1856 году Гамильтон исследовал группу симметрий икосаэдра и показал,что у неё имеются три порождающих элемента. Изучение другогомногогранника, додекаэдра, привело впоследствии к появлению в теорииграфов полезного понятия «гамильтонова графа»; кроме того, Гамильтонпридумал занимательную головоломку, связанную с обходом рёбердодекаэдра, и выпустил её в продажу (1859). Эта игра, красочнооформленная как «Путешествие вокруг света», долгое время выпускалась вразных странах Европы.
 С момента возникновения теории кватернионов Гамильтон постоянно имел ввиду приложения возникшего в её рамках аппарата векторов кпространственной геометрии. При этом направленный отрезок¯AB с началом в точке A и концом в точке B Гамильтонтрактовал именно как вектор и записывал (вслед за Мёбиусом) в виде BA(то есть как разность конца и начала). Сам термин «вектор» был образованим от латинского глагола vehere `нести, тянуть' (имелся в видуперенос подвижной точки из начального положения A в конечное положениеB).
 Геометрия обязана Гамильтону и такими терминами, как «коллинеарность» и«компланарность» (применявшимися только к точкам; для векторов с общимначалом в соответствующих случаях употреблялись выраженияtermino-collinear и termino-coplanar).
 Несколько работ Гамильтона посвящены уточнению работ Абеля поразрешимости уравнения пятой степени и численным методам. В ходе своихисследований кватернионов Гамильтон доказал ряд алгебраических теорем,которые в наши дни относят к теории матриц. Важную в линейной алгебретеорему Гамильтона — Кэли он фактически доказал для матриц размерности4×4, само понятие матрицы и формулировку теоремы (бездоказательства) опубликовал Кэли (1858), для общего случаядоказательство дал Фробениус в 1898 году.

Оптика



agraphТеория распространениясвета
 Первую свою крупную научную работу, озаглавленную «Caustics»,19-летний Гамильтон представил в 1824 году доктору Бринкли, тогдашнемупрезиденту Ирландской академии наук. Работа эта (посвящённая развитиюдифференциальной геометрии прямолинейных конгруэнций с применением ктеории оптических инструментов) осталась в рукописи, однако с 1827 годаГамильтон начал публикацию серии статей со значительно расширенным иуглублённым её вариантом под общим заглавием «Теория систем лучей»(Theory of Systems of Rays).
 В данных статьях Гамильтон стремился построить формальную теориюизвестных оптических явлений, которая была бы приемлема безотносительнок принимаемой точке зрения на природу света (то есть к его трактовкелибо как потока частиц, либо как распространяющихся волн). Он заявлял,что его цель — создать теорию оптических явлений, которая обладала бытакой же «красотой, эффективностью и гармонией», что и аналитическаямеханика Лагранжа.
 В первой из статей цикла (1827 год) Гамильтон применительно к случаюоптически однородной среды исследует общие свойства световых лучей,которые выходят из одной светящейся точки и подвергаются либоотражениям, либо преломлениям. В основу исследования он кладёт известныеиз опыта законы отражения и преломления лучей. Исходя из этихпредставлений геометрической оптики, Гамильтон приходит к понятию«поверхностей постоянного действия» (в волновой интерпретации — фронтволны), получает и анализирует описывающие данные поверхностидифференциальные уравнения.
 В конце статьи Гамильтон показывает, что все оптические законы могутбыть выведены из чрезвычайно общего и плодотворного вариационногопринципа, применённого к некоторой «характеристической функции», котораяхарактеризует конкретную оптическую систему. В современной терминологииэта функция представляет собой интеграл от действия как функцию пределовинтегрирования его часто называют «эйконалом Гамильтона». В письме кКольриджу Гамильтон вспоминал: Моей целью было не открывать новыефеномены, не улучшать конструкции оптических инструментов, но с помощьюдифференциального исчисления преобразовать геометрию света, посредствомустановления единого метода для решения всех проблем этой науки.
 Он поясняет: «Общей проблемой, которую я поставил перед собой в оптике,является исследовать математические следствия принципа наименьшегодействия». Этот принцип, далеко обобщающий классический «принципнаименьшего времени Ферма», оказался единым как для механики, так и дляоптики. Средствами своей теории Гамильтон также строго доказал, чтогеометрическая оптика есть предельный случай волновой оптики для малыхдлин волн.
 В «Первом дополнении» (1830 год) Гамильтон распространяет исследованиена случай произвольных оптических сред (неоднородных и неизотропных);при этом наряду с характеристической функцией V вводится ещё втораяфункция W, зависящая от направляющих косинусов последнего отрезкалуча. Во «Втором дополнении» (тот же 1830 год) Гамильтон получает дляV уравнение в частных производных, а функцию W истолковывает какобщий интеграл данного уравнения.
 Законченный вид теория Гамильтона обретает в «Третьем дополнении» (1832год). Здесь он доказывает, что метод характеристических функцийописывает геометрию световых лучей с полной общностью и совместим как скорпускулярной, так и с волновой теориями света.

agraphПрименениятеории
 В «Третьем дополнении» Гамильтон на основании своей теории предсказалявление внутренней конической рефракции: если в кристалле с двумяоптическими осями вырезать плоскую пластину перпендикулярно одной изосей и направить на эту пластину пучок света так, чтобы он преломилсяпараллельно оптической оси, то на выходе из пластины будет видносветящееся кольцо (диаметр которого зависит от толщины пластины). Опытыс арагонитом, проведённые университетским физиком Хамфри Ллойдом(Humphrey Lloyd), доставили данному предсказаниюэкспериментальное подтверждение. Это открытие, сенсационное само посебе, наглядно показало плодотворность методов Гамильтона, его дажесравнивали с открытием Нептуна «на кончике пера».
 Хотя теоретические исследования Гамильтона по оптике изначальнопреследовали цель создания надёжно обоснованных математических методоврасчёта оптических инструментов, его блестящие работы в течениенескольких десятилетий не находили практического применения. Лишьвпоследствии теория Гамильтона нашла широкое применение в прикладнойгеометрической оптике и теории оптических приборов.
 Выбирая, какую из теорий света — корпускулярную или волновую —следует предпочесть, Гамильтон в конце концов сделал выбор в пользупоследней. С 1832 года он способствовал принятию в Великобританиипринципа волновой природы света, который в то время благодаря работамФренеля уже победил во Франции, но, несмотря на пионерские работы ТомасаЮнга, долгое время отвергался большинством английских физиков. В своихработах Гамильтон доказал, что вариационный подход, ранее предложенныйдля геометрической оптики, полностью сохраняет силу и для волновойтеории.
 Историки науки обнаружили, что в ходе изучения распространения волнГамильтон в 1839 году первым ввёл понятие групповой скорости волны иуказал на различие между групповой и фазовой скоростями волны; однакоэто его открытие осталось незамеченным и несколько позднее былопереоткрыто Стоксом и Рэлеем. Указанное различие также оказалосьфундаментальным при разработке аппарата квантовой механики.

agraphИсторическое значение оптикиГамильтона
 Выдающиеся работы Гамильтона по оптике и открытое им оптико-механическоеединство не сразу были оценены научной общественностью. Только в концеXIX века, когда ряд его результатов был переоткрыт Г. Брунсом и другимиисследователями, началось их внедрение в оптику. Позднее — уже вначале XX века — синтез проблем оптики и механики, достигнутый вработах Гамильтона, был вновь найден Л. де Бройлем в работах по фотоннойтеории света (где он пришёл к концепции корпускулярно-волновогодуализма — установив соответствие между принципом Мопертюи — Эйлера,применённым к движению частицы, и принципом Ферма, применённым кдвижению связанной с ней волны, он дал квантовое объяснениеоптико-механической аналогии). Чуть позже идеи Гамильтона сыграливдохновляющую роль для исследований Э. Шрёдингера, разработавшеговолновую механику и получившего для волновой функции основное уравнениеквантовой механики — уравнение Шрёдингера.

Теоретическая механика ифизика



agraphПринцип стационарногодействия
 Описанные выше вариационные методы, предложенные Гамильтоном для задачоптики, он вскоре развил в применении к общей задаче механики, где ввёлв рассмотрение аналог «характеристической функции» — «главнуюфункцию», представляющую собой интеграл действия.
 Основная задача динамики: рассчитать движение тела или системы тел призаданном распределении действующих сил. При этом на систему тел могутбыть наложены связи (стационарные или меняющиеся с течением времени). Вконце XVIII века Лагранж в своей «Аналитической механике» ужесформулировал свой вариант вариационного принципа и дал решение задачидля случая систем с голономными связями.
 Гамильтон в 1834—1835 годах опубликовал (в двух статьях «Об общемметоде динамики») для механических систем со стационарными голономнымисвязями новый вариационный принцип (известный ныне как принципстационарного действия, или принцип Гамильтона):

δS=δt2t1L(q(t),˙q(t),t) dt=0.
 Здесь S — действие, L — лагранжиан динамической системы, q —обобщённые координаты. Гамильтон положил этот принцип в основу своей«гамильтоновой механики». Он указал способ построения «фундаментальнойфункции» (функции Гамильтона), из которой дифференцированием и конечнымипреобразованиями, без какого-либо интегрирования, получаются все решениявариационной задачи.
 В обобщённых координатах действие по Гамильтону имеет вид:

S[p,q]=(ipidqiH(q,p,t)dt)=(ipi˙qiH(q,p,t))dt,
 гдеH(q,p,t)H(q1,q2,,qN,p1,p2,,pN,t) —функция Гамильтона данной системы; qq1,q2,,qN —(обобщённые) координаты, pp1,p2,,pN — сопряжённыеим обобщённые импульсы. Набор координат и импульсов характеризует (вкаждый момент времени) динамическое состояние системы и, таким образом,полностью определяет эволюцию (движение) данной системы. Заметим, что в1848 году М. В. Остроградский распространил принцип Гамильтона на случайсистем с нестационарными голономными связями (после чегораспространилось название принцип Гамильтона —Остроградского); в 1901 году Г. К. Суслов и П. В. Воронец независимообобщили принцип Гамильтона — Остроградского на случай неголономныхсистем.

agraphКанонические уравненияГамильтона
 Проварьировав действие S независимо по всем qi и pi, Гамильтон в1835 году получил новую форму уравнений движения механических систем —канонические уравнения Гамильтона:

dqidt=Hpi,dpidt=Hqi,i=1,,N.
 Полученная система канонических уравнений содержит вдвое большедифференциальных уравнений, чем у Лагранжа, но зато все они первогопорядка (у Лагранжа — второго).

agraphЗначение работ Гамильтона подинамике
 Предложенная Гамильтоном форма динамики привлекла внимание многихкрупных математиков XIX века — К. Якоби, М. В. Остроградского, Ш.Делоне, Э. Дж. Рауса, С. Ли, А. Пуанкаре и др., которые существеннорасширили и углубили работы Гамильтона.
 Высоко отозвался о работах Гамильтона по динамике член-корреспондент АНСССР Л. Н. Сретенский, отметивший: «Эти работы легли в основу всегоразвития аналитической механики в XIX веке». Аналогичное мнение выразилакадемик РАН В. В. Румянцев: «Оптико-механическая аналогия Гамильтонаопределила на столетие прогресс аналитической механики». По мнениюпрофессора Л. С. Полака, это была «теория, почти не имеющая аналогов вмеханике по общности и абстрактности», открывшая колоссальныевозможности в механике и смежных науках. Академик В. И. Арнольдследующим образом охарактеризовал возможности, открывшиеся послепоявления гамильтоновой механики: Гамильтонова точка зрения позволяетисследовать до конца ряд задач механики, не поддающихся решению инымисредствами (например, задачу о притяжении двумя неподвижными центрами изадачи о геодезических на трёхосном эллипсоиде). Ещё большее значениегамильтонова точка зрения имеет для приближённых методов теориивозмущений (небесная механика), для понимания общего характера движенияв сложных механических системах (эргодическая теория, статистическаямеханика) и в связи с другими разделами математической физики (оптика,квантовая механика и т. п.).
 Подход Гамильтона оказался высоко эффективным во многих математическихмоделях физики. На этом плодотворном подходе основан, например,многотомный учебный курс «Теоретическая физика» Ландау и Лифшица.Первоначально вариационный принцип Гамильтона был сформулирован длязадач механики, но при некоторых естественных предположениях из неговыводятся уравнения Максвелла электромагнитного поля. С появлениемтеории относительности оказалось, что этот принцип строго выполняется ив релятивистской динамике. Его эвристическая сила существенно помогларазработке квантовой механики, а при создании общей теорииотносительности Давид Гильберт успешно применил гамильтонов принцип длявывода уравнений гравитационного поля (1915 год). Из сказанного следует,что принцип наименьшего действия Гамильтона занимает место средикоренных, базовых законов природы — наряду с законом сохраненияэнергии и законами термодинамики.

agraphДругие работы в областимеханики
 Гамильтону также принадлежит введение в механику понятия годографа(1846—1847 годы) — наглядного представления изменений величины инаправления вектора с течением времени. Теория годографа была развитаГамильтоном для произвольной векторной функции скалярного аргумента такименуется линия, описываемая при изменении аргумента концом вектора сначалом в неподвижном полюсе. В кинематике чаще всего имеют дело сгодографом скорости точки.
 Гамильтон доказал красивую теорему (относящуюся уже к динамике): вслучае движения по орбите под действием ньютоновского тяготения годографскорости всегда является окружностью.

Мировоззрение и личныекачества


Чертыхарактера


 Как собственные блестящие способности, так и неудачная личная жизньвызвали в Гамильтоне непреодолимое увлечение творческим научным трудом.Он работал по 12 и более часов в день, забывая о еде. Как-то составилсебе шутливую эпитафию: «Я был трудолюбивый и правдолюбивый».
 Вёл активную переписку с коллегами и литераторами, из которой особенныйинтерес представляют письма к одному из создателей математической логикиАвгусту де Моргану. По каким-то причинам он ни разу не обменивалсяписьмами с крупнейшими математиками того времени (Гаусс, Коши, Риман идр.). Следует, впрочем, отметить, что доставка в Ирландию иностранныхнаучных журналов была нерегулярной, и в письмах Гамильтон жаловался натрудности ознакомления с новейшими математическими достижениями. В 1842году Гамильтон побывал в Англии на научном семинаре и встретился свидным продолжателем своих работ Карлом Якоби, который позже назвалГамильтона «Лагранжем этой страны».

Философские и религиозныевзгляды


 Судя по письмам и заметкам Гамильтона, он живо интересовался философиейи особенно ценил Беркли и Канта. Он не верил, что открытые нами законыприроды адекватно отражают реальные закономерности. Научная модель мираи реальность, писал он, «интимно и чудесно связаны вследствие последнегоединства, субъективного и объективного, в Боге, или, говоря менееспециально и более религиозно, благодаря святости обнаружений, которыеему самому угодно было совершить во Вселенной для человеческогоинтеллекта». В соответствии с Кантом, Гамильтон считал научныепредставления порождениями человеческой интуиции.
 Гамильтон был искренне верующим человеком, активным членомконсервативного «Оксфордского движения» в англиканстве, был даже избранцерковным старостой своего округа. В 1840-е годы он опубликовал внаучных журналах статьи по двум религиозным проблемам: расчётравноденствия в год Никейского собора и оценка времени вознесения Христана небо.

Методология научногоисследования


 Работая над основами математической оптики, Гамильтон пришёл к важнымвыводам методологического характера. Опубликованные уже в XX векерукописи Гамильтона показывают, что к своим общим результатам в оптикеон пришёл на основе кропотливого анализа частных случаев, после чегопоследовала тщательная отделка изложения, практически полностью скрывшаяпуть, по которому двигался автор.
 Свою научно-методологическую концепцию Гамильтон изложил в 1833 году встатье «Об общем методе определения путей света и планет с помощьюкоэффициентов характеристической функции». В ней он писал, что всякаяфизическая наука имеет два различных направления развития —индуктивное и дедуктивное: «В каждой физической науке мы должнывосходить от фактов к законам путём индукции и анализа и нисходить отзаконов к следствиям путём дедукции и синтеза». При этом для успешногоприменения математических методов дедуктивный подход должен опираться наобщий метод, исходить из одной центральной идеи. Гамильтон подробнообосновал целесообразность принять для оптики в качестве общего законазакон наименьшего (стационарного) действия, а в конце статьи обсудилперспективы аналогичного подхода в механике и астрономии.

Память


 Множество понятий и утверждений в науке связано с именемУ. Р. Гамильтона.

  • Оператор Гамильтона
  • Гамильтона–Якоби уравнение
  • Гамильтониан (квантовая механика)
  • Гамильтонов граф
  • Гамильтонова механика
  • Параметры Родрига — Гамильтона
  • Принцип Гамильтона
  • Теорема Гамильтона — Кэли
  • Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана
  • Уравнения Гамильтона
  • Функция Гамильтона

 В честь учёного назван кратер Гамильтон на видимой стороне Луны.
 В Ирландии два научных института названы в честь величайшего математикастраны:

  • Гамильтоновский институт при Национальном университете (The Hamilton Institute at the National University of Ireland), Мейнут.
  • Гамильтоновский институт математики (Hamilton Mathematics Institute) при дублинском Тринити-колледже.

 В 2005 году научная общественность многих стран отметила 200-летиеУильяма Гамильтона; правительство Ирландии объявило этот год «годомГамильтона», а Центральный банк Ирландии выпустил памятную монетудостоинством 10 евро.

Труды в русскомпереводе



  • Гамильтон У. Р. [http://publ.lib.ru/ARCHIVES/G/GAMIL Избранные труды: оптика, динамика, кватернионы]. — : Наука, 1994. (Серия: Классики науки). — 560 с.
    • ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА
      • Об одном взгляде на математическую оптику (9).
      • Третье дополнение к «Опыту теории систем лучей» (10).
      • О некоторых результатах, проистекающих из взгляда на характеристическую функцию в оптике (166).
    • ФИЗИЧЕСКАЯ ОПТИКА
      • Исследования по динамике света (175).
      • Исследования о колебании, связанном с теорией света (177).
    • ОПТИКО-МЕХАНИЧЕСКАЯ АНАЛОГИЯ
      • Об общем методе представления путей света и планет частными производными характеристической функции (184).
      • О приложении к динамике общего математического метода, ранее приложенного к оптике (210).
    • ДИНАМИКА
      • Об общем методе в динамике, посредством которого изучение движений всех свободных систем притягивающихся или отталкивающихся точек сводится к отысканию и дифференцированию одного центрального соотношения, или характеристической функции (215).
      • Второй очерк об общем методе в динамике (287).
    • КВАТЕРНИОНЫ
      • О кватернионах, или о новой системе мнимых величин в алгебре (345).
      • Предисловие к «Лекциям о кватернионах» (392).
    • ДОПОЛНЕНИЯ
      • Из письма У. Р. Гамильтона Дж. Гершелю (439).
      • Письмо У. Р. Гамильтона Джону Т. Грэйвсу, эсквайру (442)