Гильберт Давид

Давид Гильберт ( 23 января 1862 — 14 февраля 1943) —немецкий -универсал, внёс значительный вклад в развитие многих областейматематики. В 1910—1920-е годы (после смерти Анри Пуанкаре) былпризнанным мировым лидером математиков. Гильберт разработал широкийспектр фундаментальных идей во многих областях математики, в том числетеорию инвариантов и аксиоматику евклидовой геометрии. Он сформулировалтеорию гильбертовых пространств, одну из основ современногофункционального анализа.

Биография


 Родился в семье судьи Отто Гильберта, в городке Велау близ Кёнигсберга вПруссии (после Второй мировой войны — российский посёлок ЗнаменскКалининградской области). В семье, кроме Давида, была ещё дочь.
 В 1880 году закончил гимназию Вильгельма (Wilhelm Gymnasium).Далее, в том же году, Гильберт поступил в Кёнигсбергский университет,где подружился с Германом Минковским и Адольфом Гурвицем. Вместе оничасто совершали долгие «математические прогулки», где деятельнообсуждали решение научных проблем; позднее Гильберт узаконил такиепрогулки как неотъемлемую часть обучения своих студентов.
 В 1885 году Гильберт защитил диссертацию по теории инвариантов, научнымруководителем которой был Линдеман, а в следующем году стал профессоромматематики в Кёнигсберге. В ближайшие несколько лет фундаментальныеоткрытия Гильберта в теории инвариантов выдвинули его в первые рядыевропейских математиков.
 В 1892 году женился на Кете Ерош (Käthe Jerosch, 1864—1945). Вследующем году родился их единственный сын, Франц (1893—1969),оказавшийся душевнобольным.
 В 1895 году по приглашению Феликса Клейна Гильберт переходит вГёттингенский университет и занимает кафедру, которую в своё времязанимали Гаусс и Риман. На этой должности он оставался 35 лет,фактически до конца жизни.
 Среди прямых учеников Гильберта в Гёттингене были Эрнст Цермело, ГерманВейль, Джон фон Нейман (который был также его ассистентом), РихардКурант, Гуго Штейнгауз, Отто Блюменталь, шахматный чемпион ЭммануилЛаскер и другие. Намного больше круг учёных, которые считали себя егоучениками, в их числе, например, Эмми Нётер и Алонзо Чёрч. В общейсложности Гильберт был научным руководителем у 69 аспирантов, защитившихдокторские диссертации. Интересен его отзыв об одном из аспирантов,бросившем математику и «переквалифицировавшемся» в поэты: «Это хорошо, унего было слишком мало фантазии для математика».
 В 1897 году выходит капитальная монография «Zahlbericht» («Отчёто числах») по теории алгебраических чисел.
 В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Гильбертформулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем математики,послуживший направляющим указателем приложения усилий математиков напротяжении всего XX века.
 С 1902 года Гильберт — редактор самого авторитетного математическогожурнала «Mathematische Annalen».
 В 1910-х годах Гильберт создаёт в современном виде функциональныйанализ, введя понятие, получившее название гильбертова пространства,которое обобщает евклидово пространство на бесконечномерный случай.Одновременно он консультирует Эйнштейна и помогает ему в разработкечетырёхмерного тензорного анализа, послужившего фундаментом для общейтеории относительности.
 В 1920-х годах Гильберт и его школа сосредоточили усилия на построенииаксиоматического обоснования математики.
 В 1930 году, в соответствии с уставом университета, 68-летний Гильбертушёл в отставку, хотя время от времени читал лекции студентам. Последнююлекцию в Гёттингене Гильберт прочитал в 1933 году.
 После прихода национал-социалистов к власти в Германии жил в Гёттингенев стороне от университетских дел. Многие его коллеги, имевшиенедостаточно арийских предков или родственников, были вынужденыэмигрировать. Однажды Бернхард Руст, нацистский министр образования,спросил Гильберта: «Как теперь математика в Гёттингене, после того какона освободилась от еврейского влияния?» Гильберт уныло ответил:«Математика в Гёттингене? Её больше нет» .
 Умер Гильберт 14 февраля в военном 1943 году в Гёттингене. За его гробомшло всего около десятка человек. Похоронен на городском кладбищеГёттингена Groner Landstrasse.

Научнаядеятельность


 Исследования Гильберта оказали большое влияние на развитие многихразделов математики, а его деятельность в Гёттингенском университете взначительной мере содействовала тому, что Гёттинген в первой трети XXвека являлся одним из основных мировых центров математической мысли.Диссертации большого числа крупных математиков (среди них Г. Вейль, Р.Курант) были написаны под его научным руководством.
 Научная биография Гильберта отчётливо распадается на периоды,посвящённые работе в какой-либо одной области математики:

  • Теория инвариантов (1885—1893).
  • Теория алгебраических чисел (1893—1898).
  • Основания геометрии (1898—1902).
  • Принцип Дирихле (математическая физика) и примыкающие к нему проблемы вариационного исчисления и дифференциальных уравнений (1900—1906).
  • Теория интегральных уравнений (1902—1912).
  • Решение проблемы Варинга в теории чисел (1908—1909).
  • Математическая физика (1910—1922).
  • Основания математики (1922—1939).

Математика


 В теории инвариантов исследования Гильберта явились завершением периодабурного развития этой области математики во второй половине XIX века. Имдоказана основная теорема о существовании конечного базиса системыинвариантов. Работы Гильберта по теории алгебраических чиселпреобразовали эту область математики и стали исходным пунктом еёпоследующего развития. В своём классическом обзоре он дал глубокое исодержательное изложение данного материала. Усилиями немецкихматематиков — Дирихле, Куммера, Кронекера, Дедекинда, затем Нётер иМинковского — была создана законченная теория делимости для числовыхполей, основанная на понятиях идеала и простого идеала. Однако открытымоставался вопрос, что происходит с простым идеалом поля при включенииего в «надполе», и в связи с этой трудной проблемой Гильберт ввёл рядважных новых понятий, сформулировал и частично доказал основныеотносящиеся сюда результаты. Полное их доказательство и дальнейшееразвитие стало делом некоторых из самых выдающихся его последователей.
 В развитии теории алгебраических полей фундаментальную роль сыграламонография Гильберта «Теория полей алгебраических чисел», на десятилетияставшая основой последующих исследований по этой теме. Среди собственныхоткрытий Гильберта выделяется его развитие теории Галуа, в том числеважная «90-я теорема».
 Данное Гильбертом решение проблемы Дирихле положило начало разработкетак называемых прямых методов в вариационном исчислении.
 Построенная Гильбертом теория интегральных уравнений с симметричнымядром составила одну из основ современного функционального анализа иособенно спектральной теории линейных операторов.
 Гильберт сразу показал себя убеждённым сторонником канторовской теориимножеств и защищал её от критики многочисленных противников. Он говорил:«Никто не изгонит нас из рая, созданного Кантором». Сам Гильберт,впрочем, эту область не разрабатывал, хотя косвенно затрагивал в трудахпо функциональному анализу.

Обоснованиематематики


 Классические «Основания геометрии» Гильберта (1899) стали образцом длядальнейших работ по аксиоматическому построению геометрии. Хотя идеяпостроения модели одной математической структуры на базе другойиспользовалась и до Гильберта (например, У. Р. Гамильтоном), толькоГильберт реализовал её с исчерпывающей полнотой. Он не только дал полнуюаксиоматику геометрии, но также детально проанализировал этуаксиоматику, доказав (построив ряд остроумных моделей) независимостькаждой из своих аксиом.
 К 1922 году у Гильберта сложился значительно более обширный планобоснования всей (или хотя бы значительного, общепринятого фрагмента)математики путём её полной формализации с последующим«метаматематическим» доказательством непротиворечивости формализованнойматематики. Для осуществления этой программы Гильберт разработал строгуюлогическую теорию доказательств, продолжая работы Фреге с помощьюкоторой непротиворечивость математики свелась бы к доказательствунепротиворечивости арифметики. При этом Гильберт использовал толькообщепризнанные логические средства (логику первого порядка). Егопрограмма оказалась невыполнимой, как впоследствии установил К. Гёдель,хотя послужила значительным стимулом к развитию логики.
 Два тома «Оснований математики», написанных Гильбертом совместно с П.Бернайсом, в которых эта концепция подробно развивается, вышли в 1934-ми 1939-м годах. Первоначальные надежды Гильберта в этой области неоправдались: проблема непротиворечивости формализованных математическихтеорий, как показал Курт Гёдель (1931), оказалась глубже и труднее, чемГильберт предполагал сначала. Но вся дальнейшая работа над логическимиосновами математики в большой мере идёт по пути, намеченному Гильбертом,и использует созданные им концепции.
 Считая с логической точки зрения необходимой полную формализациюматематики, Гильберт в то же время верил в силу творческойматематической интуиции. Он был большим мастером в высшей степенинаглядного изложения математических теорий. В этом отношениизамечательна «Наглядная геометрия», написанная Гильбертом совместно с С.Кон-Фоссеном. Вместе с тем Гильберт был решительным противником попытокинтуиционистов ввести ограничения на математическое творчество(например, запретить теорию множеств, аксиому выбора или даже законисключённого третьего). Эта позиция породила в научной среде дискуссию,в ходе которой теорию доказательств Гильберта (особенно после работГёделя) часть математиков обвиняла в бессодержательности и называлипустой игрой с формулами.
 Для творчества Гильберта характерны уверенность в неограниченной силечеловеческого разума, убеждение в единстве математической науки иединстве математики и естествознания. Собрание сочинений Гильберта,изданное под его наблюдением (1932—1935), кончается статьёй «Познаниеприроды», а эта статья — лозунгом «Мы должны знать — мы будем знать»(Wir müssen wissen. Wir werden wissen.). Это антитеза изречениюЭ. Дюбуа-Реймона, стоявшего на философских позициях непознаваемости: «Мыне знаем — мы не узнаем» («Ignoramus — ignorabimus»).

Физика


 В физике Гильберт был сторонником строгого аксиоматического подхода исчитал, что после аксиоматизации математики необходимо будет проделатьэту процедуру с физикой.
 Наиболее известным вкладом Гильберта в физику является вывод уравненийЭйнштейна — основных уравнений общей теории относительности,проведённый им в ноябре 1915 года практически одновременно с Эйнштейном(см. об этом: Гильберт и уравнения гравитационного поля). ФактическиГильберт первым получил правильные уравнения поля общей теорииотносительности, хотя опубликовал их позже. Кроме того, неоспоримосущественное влияние Гильберта на Эйнштейна в период их параллельнойработы над выводом этих уравнений (оба находились в этот период винтенсивной переписке).
 Независимо от вопроса о приоритете, Гильберт первым использовал привыводе этих уравнений вариационный метод, ставший впоследствии одним изосновных в теоретической физике. Очевидно, это был первый в историифизики случай, когда неизвестные до этого уравнения фундаментальнойтеории были получены таким путём (по крайней мере, если говорить оподтвердившихся теориях).
 Представляет интерес также следующий случай: в 1926 году после созданияматричной квантовой механики Макс Борн и Вернер Гейзенберг решилипроконсультироваться у Гильберта, существует ли область математики, вкоторой применялся бы подобный формализм. Гильберт ответил им, что спохожими матрицами он встречался, когда разбирал вопросы существованиярешений дифференциальных уравнений второго порядка в частныхпроизводных. Физикам показалось, что математик их не понял, и они решилине изучать далее этот вопрос. Менее чем через полгода Эрвин Шрёдингерсоздал волновую квантовую механику, основное уравнение которой —уравнение Шрёдингера, является уравнением второго порядка в частныхпроизводных, и доказал эквивалентность обоих подходов: старогоматричного и нового волнового.

Оценки и личныекачества


 Современники вспоминают Гильберта как человека жизнерадостного,чрезвычайно общительного и доброжелательного, отмечают егоисключительное трудолюбие и научный энтузиазм.
 Известные математики отзывались о роли Давида Гильберта в математикетак:
 Герман Вейль :
 \beginquoteНаше поколение не выдвинуло ни одного математика, который мог бысравниться с ним\ldots Пытаясь разглядеть сквозь завесу времени, какоебудущее нам уготовано, Гильберт поставил и рассмотрел двадцать тринерешённые проблемы, которые\ldots действительно сыграли важную роль вразвитии математики на протяжении последующих сорока с лишним лет. Любойматематик, решивший одну из них, занимал почётное место в математическомсообществе.\endquote
 \beginquoteМы, математики, часто оцениваем свои успехи мерой того, какие изгильбертовых проблем удалось ещё решить.\endquote
 Макс фон Лауэ:
 \beginquoteВ моих воспоминаниях этот человек остался таким гением, равного которомуя никогда не видел.\endquote
 Пётр Новиков:
 \beginquoteИдеи Гильберта были переломным моментом в вопросах оснований математикии началом нового этапа в развитии аксиоматического метода.\endquote
 Норберт Винер:
 \beginquoteГильберт словно олицетворял собой лучшие традиции великих гениевпрошлого... Необычайно острое абстрактное мышление сочеталось у него споразительным умением не отрываться от конкретного физического смыслапроблемы.\endquote
 Жан Дьёдонне:
 \beginquoteВозможно, Гильберт глубже влиял на математический мир не столько своимигениальными открытиями, сколько строением своего ума; он научилматематиков мыслить аксиоматически, то есть стремиться каждую теоремусвести к строжайшей логической схеме... Со своей интеллектуальной, всёболее требовательной честностью, в страстной потребности понять, внеутомимом стремлении ко всё более единой, всё более чистой, лишённойлишнего науке Гильберт поистине воплощал идеал математика длямежвоенного поколения.\endquote
 Рихард Курант:
 \beginquoteД. Гильберт был одним из поистине великих математиков своего времени.Его труды и вдохновенная личность учёного доныне оказывают глубокоевлияние на развитие математических наук. Проницательная интуицияГильберта, творческая мощь и неповторимая оригинальность мышления,широта и разнообразие интересов сделали его первооткрывателем во многихразделах математики. Он представлял собой уникальную личность, глубокопогружённую в собственную работу и полностью преданную науке, это былучитель и руководитель высшего класса, который умел вдохновлять иподдерживать, не знал усталости и был настойчив во всех своихустремлениях.\endquote

Память


 В 1970 г. Международный астрономический союз присвоил имя Гильбертакратеру на обратной стороне Луны.

Награды ипочести



  • Член-корреспондент Берлинской Академии наук (с 1913).
  • Премия имени Н. И. Лобачевского (1903), Казанское физико-математическое общество.
  • Премия Понселе (1903), Французская академия наук.
  • Медаль Котениуса (1906), Леопольдина.
  • Премия Бойяи (1910), Венгерская академия наук.
  • Почётный гражданин Кёнигсберга (1930).
  • В честь учёного названа улица в Гёттингене (Гильбертштрассе).

 Был избран иностранным членом многих академий наук, в том числеиностранным член-корреспондентом РАН (1922) и иностранным почётнымчленом АН СССР (1934).