Мальмстен Карл Йохан

Карл Йохан Мальмстен ( 9 апреля 1814 года, коммуна Скара,Швеция — 11 февраля 1886 года, Уппсала, Швеция) — шведский математики политический деятель. Известен своими ранними работами по комплексномуанализу, теории некоторых специальных функций, а также как сооснователь(вместе с Миттаг-Леффлером) математического журнала ActaMathematica.
 Мальмстен получает степень доцента в 1840 г. и уже через два годастановится профессором математики в Университете г. Уппсала. В 1844 егопринимают в Шведскую Королевскую Академию Наук. С 1859 по 1866 гг. онтакже входил в состав правительства коммуны Скара, где занимал постминистра без портфеля, при этом параллельно продолжал заниматьсяматематикой.

Основнойвклад


 Долгое время имя Карла Мальмстена упоминалось в основном всвязи с его ранними работами по теории функций комплексного переменного.Тем не менее, он также внёс большой вклад и в другие области анализа, вчастности в теорию спец. функций и дифференциальных уравнений, но, ксожалению, многие его работы были незаслужено забыты, а результатыприписаны другим. Так, сравнительно недавно, Ярослав Благушин (IaroslavBlagouchine) показал что именно Мальмстену принадлежит ряд важнейшихработ по логарифмическим интегралам и суммам тесно связанным сгамма-функцией, её логарифмической производной, обобщённой дзетафункцией, а также L-рядами Дирихле. В частности, в 1842 году, Мальмстенсумел выразить в аналитическом виде следующие логарифмические интегралы

 \{int\{limits\_0\^1\{!\{frac\{\{,\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\{,\}\{1+x\^2\}\{,dx\{,=
 \{,\{int\{limits\_1\^\{infty\{!\{frac\{\{,\{ln\{ln\{x\}\{,\}\{1+x\^2\}\{,dx\{,=\{,\{frac\{\{pi\}\{\{,2\{,\}\{ln\{left\{\{\{frac\{\{Gamma\{(3/4)\}\}\{\{Gamma\{(1/4)\}\}\{sqrt\{2\{pi\{,\}\{right\{\}

 \{int\{limits\_0\^\{1\}\{frac\{\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{(1+x)\^2\}\{,dx=\{int\{limits\_1\^\{\{infty\}
 \{!\{frac\{\{ln\{ln\{x\}\}\{(1+x)\^2\}\{,dx= \{frac\{1\}\{2\}\{bigl(\{ln\{pi -\{ln2 -\{gamma\{bigr),

 \{int\{limits\_0\^\{1\}\{!\{frac\{\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{1-x+x\^2\}\{,dx=
 \{int\{limits\_1\^\{\{infty\}\{!\{frac\{\{ln\{ln\{x\}\}\{1-x+x\^2\}\{,dx=\{frac\{2\{pi\}\{\{sqrt\{3\}\}\{ln\{biggl\{\{\{frac\{\{sqrt[6]\{32\{pi\^5\}\}\{\{Gamma\{(1/6)\}\}\{biggr\{\}

 \{int\{limits\_0\^\{1\}\{!\{frac\{\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{1+x+x\^2\}\{,dx=
 \{int\{limits\_1\^\{\{infty\}\{!\{frac\{\{ln\{ln\{x\}\}\{1+x+x\^2\}\{,dx=\{frac\{\{pi\}\{\{sqrt\{3\}\}\{ln\{biggl\{\{\{frac\{\{Gamma\{(2/3)\}\}\{\{Gamma\{(1/3)\}\}\{sqrt[3]\{2\{pi\}\{biggr\{\}


 \texttt\{int\{limits\_0\^1 \{!\{frac\{\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{1+2x\{cos
 \{varphi+x\^2\} \{,dx\{,=\{int\{limits\_1\^\{\{infty\}\{!\{frac\{\{ln\{ln\{x\}\}\{1+2x\{cos\{varphi+x\^2\}\{,dx
 \texttt=
 \{frac\{\{pi\}\{2\{sin\{varphi\}\{ln\{left\{\{\{frac\{(2\{pi)\^\{\{frac\{\{scriptstyle\{varphi\}\{\{scriptstyle\{pi\}\}\{,\{Gamma\{!\{left(\{!\{displaystyle\{frac\{1\}\{\{,2\{,\}+\{frac\{\{varphi\}\{\{,2\{pi\{,\}\{!\{right)\}\{\{Gamma\{!\{left(\{!\{displaystyle\{frac\{1\}\{\{,2\{,\}-\{frac\{\{varphi\}\{\{,2\{pi\{,\}\{!\{right)\}\{right\{\}, \{qquad-\{pi\textless\{varphi\textless\{pi.

 \{int\{limits\_0\^\{1\}\{!\{frac\{x\^\{n-2\}\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{1-x\^2+x\^4-\{cdots
 +x\^\{2n-2\}\}\{,dx\{, =\{int\{limits\_1\^\{\{infty\}\{!\{frac\{x\^\{n-2\}\{ln\{ln\{x\}\}\{1-x\^2+x\^4-\{cdots+x\^\{2n-2\}\}\{,dx =

 \{quad =\{,\{frac\{\{pi\}\{\{,2n\{,\}\{sec\{frac\{\{,\{pi\{,\}\{2n\}\{!\{cdot\{ln\{pi +
 \texttt\{frac\{\{pi\}\{\{,n\{,\}\{cdot\{!\{!\{!\{!\{!\{!\{sum\_\{l=1\}\^\{\{;\{;\{frac\{1\}\{2\}(n-1)\} 
 \{!\{!\{!\{!(-1)\^\{l-1\}\{cos\{frac\{\{,(2l-1)\{pi\{,\}\{2n\}\{cdot\{ln\{left\{\{\{!\{frac\{\{Gamma\{!\{left(1-\{displaystyle\{frac\{2l-1\}\{2n\}\{right)\}\{\{Gamma\{!\{left(\{displaystyle\{frac\{2l-1\}\{2n\}\{right)\}\{right\{\},\{qquad n=3,5,7,\{ldots

 \{int\{limits\_0\^\{1\}\{!\{frac\{x\^\{n-2\}\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{
 1+x\^2+x\^4+\{cdots+x\^\{2n-2\}\}\{,dx\{, =\{int\{limits\_1\^\{\{infty\}\{!\{frac\{x\^\{n-2\}\{ln\{ln\{x\}\}\{1+x\^2+x\^4+\{cdots+x\^\{2n-2\}\}\{,dx =


 \{qquad =\{begin\{cases\}\{displaystyle\{frac\{\{,\{pi\{,\}\{2n\}\{tan\{frac\{\{,\{pi\{,\}\{2n\}\{ln2\{pi+\{frac\{\{pi\}\{n\}\{sum\_\{l=1\}\^\{n-1\}(-1)\^\{l-1\}\{sin\{frac\{\{,\{pil\{,\}\{n\}\{cdot\{ln\{left\{\{\{!\{frac\{\{Gamma\{!\{left(\{!\{displaystyle\{frac\{1\}\{\{,2\{,\}+\{displaystyle\{frac\{l\}\{\{,2n\}\{!\{right)\}\{\{Gamma\{!\{left(\{!\{displaystyle\{frac\{l\}\{\{,2n\}\{!\{right)\}\{right\{\},\{quad n=2,4,6,\{ldots\{\{[10mm] \{displaystyle\{frac\{\{,\{pi\{,\}\{2n\}\{tan\{frac\{\{,\{pi\{,\}\{2n\}\{ln\{pi+\{frac\{\{pi\}\{n\}\{!\{!\{!\{!\{!\{sum\_\{l=1\}\^\{\{;\{;\{;\{frac\{1\}\{2\}(n-1)\}\{!\{!\{!\{!(-1)\^\{l-1\}\{sin\{frac\{\{,\{pil\{,\}\{n\}\{cdot\{ln\{left\{\{\{!\{frac\{\{Gamma\{!\{left(1-\{displaystyle\{frac\{\{,l\}\{n\}\{!\{right)\}\{\{Gamma\{!\{left(\{!\{displaystyle\{frac\{\{,l\}\{n\}\{!\{right)\}\{right\{\},\{qquad n=3,5,7,\{ldots\{end\{cases\} Детали вычислений, а также интересныйисторический анализ, приводятся в работах Я. Благушина. Многие из этихинтегралов были вновь открыты и заново изучены лишь в 20-м веке. Вчастности, они, без единого упоминания о Мальмстене, периодическипоявлялись в работах Илана Варди (Ilan Vardi), Виктора Адамчика (VictorAdamchiк), Виктора Молля (Victor Moll), Эрика Вайсштайна (EricWeisstein) и некоторых других. Более того, заблуждения касаемыеавторства этих формул зашли так далеко что во многих современныхисточниках первый из этих интегралов называется интегралом Варди(Vardi's integral), хотя он вычислил его на 146 лет позжеМальмстена. Мальмстен получил эти формулы пользуясь различнымидостаточно громоздкими разложениями в ряды, почленным интегрированием, атакже ловко применяя элементарные преобразования. Методы современногоанализа позволяют получить их и менее трудоёмкими способами, такими какметоды контурного интегрирования, с помощью дзета-функции Гурвица, черезполилогарифмы и с помощью L-рядов Дирихле. Эти-же методы позволяютподсчитать и более сложные интегралы Мальмстена, большое количествокоторых рассматривалось в работах В. Адамчика, и особенно, Я. Благушина(около 80 интегралов). Вот несколько примеров подобных интегралов


 \texttt\{int\{limits\_0\^1 \{frac\{\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{1+x\^3\}\{,dx 

\{

int\{limits\_1\^\{infty\{frac\{x\{ln\{lnx\}\{1+x\^3\}\{,dx
 \{frac\{\{ln2\}\{6\}\{ln\{frac\{3\}\{2\}-\{frac\{\{pi\}\{6\{sqrt3\}\{left\{\{\{ln54-8\{ln2\{pi+12\{ln\{Gamma\{left(\{frac\{1\}\{3\}\{right)\{right\{\}


 \texttt\{int\{limits\_0\^1 \{!\{frac\{x\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{(1-x+x\^2)\^2\}\{,dx 

\{

int\{limits\_1\^\{infty\{!\{frac\{x\{ln\{lnx\}\{(1-x+x\^2)\^2\}\{,dx
 -\{frac\{\{gamma\}\{3\}-\{frac\{1\}\{3\}\{ln\{frac\{6\{sqrt3\}\{\{pi\}+ \{frac\{\{pi\{sqrt3\}\{27\}\{left\{\{5\{ln2\{pi-6\{ln\{Gamma\{left(\{frac\{1\}\{6\}\{right)\{right\{\}


 \{int\{limits\_0\^1\{frac\{\{left(x\^4-6x\^2+1\{right)\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{\{,(1+x\^2)\^3\{,\}\{,dx=\{int\{limits\_1\^\{infty\{frac\{\{left(x\^4-6x\^2+1\{right)\{ln\{ln\{x\}\}\{\{,(1+x\^2)\^3\{,\}\{,dx = \{frac\{2\{,\{mathrm\{G\}\}\{\{pi\}


 \{int\{limits\_0\^1\{frac\{x\{left(x\^4-4x\^2+1\{right)\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{\{,(1+x\^2)\^4\{,\}\{,dx =\{int\{limits\_1\^\{infty\{frac\{x\{left(x\^4-4x\^2+1\{right)\{ln\{ln\{x\}\}\{\{,(1+x\^2)\^4\{,\}\{,dx = \{frac\{7\{zeta(3)\}\{8\{pi\^2\}


 \{begin\{array\}\{ll\} \{displaystyle\{int\{limits\_0\^1\{frac\{x\{!\{left(x\^\{\{frac\{m\}\{n\}\}-x\^\{-\{frac\{m\}\{n\}\}\{right)\^\{\{!2\}\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{\{,(1-x\^2)\^2\{,\}\{,dx =\{int\{limits\_1\^\{infty\{frac\{x\{!\{left(x\^\{\{frac\{m\}\{n\}\}-x\^\{-\{frac\{m\}\{n\}\}\{right)\^\{\{!2\}\{ln\{ln\{x\}\}\{\{,(1-x\^2)\^2\{,\}\{,dx =\{!\{!\{!\&\{displaystyle\{frac\{\{,m\{pi\{,\}\{\{,n\{,\}\{sum\_\{l=1\}\^\{n-1\}\{sin\{dfrac\{2\{pi ml\}\{n\}\{cdot\{ln\{Gamma\{!\{left(\{!\{frac\{l\}\{n\}\{!\{right)- \{,\{frac\{\{pim\}\{\{,2n\{,\}\{mathrm\{ctg\}\{frac\{\{pim\}\{n\}\{cdot\{ln\{pi n\{\{[3mm]
 \texttt\&\{displaystyle
 -\{,\{frac\{\{,1\{,\}\{2\}\{ln\{!\{left(\{!\{frac\{\{,2\{,\}\{\{pi\}\{sin\{frac\{\{,m\{pi\{,\}\{n\}\{!\{right)- \{,\{frac\{\{gamma\}\{2\}\{end\{array\}


 \{begin\{array\}\{l\} \{displaystyle\{int\{limits\_0\^1\{frac\{x\^2\{!\{left(x\^\{\{frac\{m\}\{n\}\}+x\^\{-\{frac\{m\}\{n\}\}\{right)\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{\{,(1+x\^2)\^3\{,\}\{,dx =\{int\{limits\_1\^\{infty\{frac\{x\^2\{!\{left(x\^\{\{frac\{m\}\{n\}\}+x\^\{-\{frac\{m\}\{n\}\}\{right)\{ln\{ln\{x\}\}\{\{,(1+x\^2)\^3\{,\}\{,dx =-\{frac\{\{,\{pi\{left(n\^2-m\^2\{right)\{,\}\{8n\^2\}\{!\{sum\_\{l=0\}\^\{2n-1\}\{! (-1)\^l\{cos\{dfrac\{(2l+1)m\{pi\}\{2n\}\{cdot\{ln\{Gamma\{!\{left(\{!\{frac\{2l+1\}\{4n\}\{right)\{\{[3mm] \{displaystyle\{,\{,+\{frac\{\{,m\{,\}\{\{,8n\^2\{,\}\{!\{sum\_\{l=0\}\^\{2n-1\} \{! (-1)\^l\{sin\{dfrac\{(2l+1)m\{pi\}\{2n\}\{cdot\{Psi\{!\{left(\{!\{frac\{2l+1\}\{4n\}\{right)-\{frac\{\{,1\{,\}\{\{,32\{pin\^2\{,\}\{!\{sum\_\{l=0\}\^\{2n-1\}(-1)\^l\{cos\{dfrac\{(2l+1)m\{pi\}\{2n\}\{cdot\{Psi\_1\{!\{left(\{!\{frac\{2l+1\}\{4n\}\{right)+\{,\{frac\{\{,\{pi(n\^2-m\^2)\{,\}\{16n\^2\}\{sec\{dfrac\{m\{pi\}\{2n\}\{cdot\{ln2\{pin \{end\{array\} где m и n целыеположительные числа такие что m\textlessn, G -постоянная Каталана, ζ - дзета-функция Римана, Ψ - дигамма-функция,Ψ1 - тригамма-фунцция; см. соответственно ур. (43), (47)и (48) в для первых трёх интегралов, и упр. 36-a, 36-b, 11-b и 13-b вдля последних четырёх (третий интеграл фигурирует в обеих работах).Интересно что некоторые интегралы Мальмстена приводят к гамма- иполигамма-функциям комплексного аргумента, которые не очень частовстречаются в анализе. Так, например,


 \texttt\{int\{limits\_0\^1 \{!\{frac\{x\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\}\{1+4x\^2+x\^4\}\{,dx 

\{

int\{limits\_1\^\{\{infty\}\{!\{frac\{x\{ln\{ln\{x\}\}\{1+4x\^2+x\^4\}\{,dx
 \{frac\{\{,\{pi\{,\}\{\{,2\{sqrt\{3\{,\}\{,\}\{mathrm\{Im\}\{!\{left[\{ln\{Gamma\{!\{left(\{!\{frac\{1\}\{2\}-\{frac\{\{ln(2+\{sqrt\{3\{,\})\}\{2\{pii\}\{right)\{!\{right]+\{,\{frac\{\{ln(2+\{sqrt\{3\{,\})\}\{\{,4\{sqrt\{3\{,\}\{,\}\{ln\{piа также,


 \{int\{limits\_\{0\}\^\{1\}\{!\{frac\{\{,x\{ln\{ln\{frac\{1\}\{x\}\{,\}\{\{,x\^4-2x\^2\{mathrm\{ch\}\{2\}+1\{,\}\{,dx=\{int\{limits\_\{1\}\^\{\{infty\}\{!\{frac\{\{,x\{ln\{ln\{x\}\{,\}\{\{,x\^4-2x\^2\{mathrm\{ch\}\{2\}+1\{,\}\{,dx=-\{frac\{\{,\{pi\{,\}\{2\{,\{mathrm\{sh\}\{2\}\{,\}\{mathrm\{Im\}\{!\{left[\{ln\{Gamma\{!\{left(\{!\{frac\{i\}\{2\{pi\}\{right)-\{ln\{Gamma\{!\{left(\{!\{frac\{1\}\{2\}-\{frac\{i\}\{2\{pi\}\{right)\{!\{right]-\{frac\{\{,\{pi\^2\}\{8\{,\{mathrm\{sh\}\{2\}\{,\}-\{frac\{\{,\{ln2\{pi\{,\}\{2\{,\{mathrm\{sh\}\{2\}\{,\}см. Ярослав Благушин, упр. 7-а и 37 соответственно. Также установленочто интегралы Мальмстена тесно связаны с обобщёнными постояннымиСтилтьеса, которые на данный момент ещё слабо изучены.
 В 1842 году, Мальмстену также удалось подсчитать несколько важнейшихлогарифмических рядов, среди которых наиболее выделяются следующие два:


 \{sum\_\{n=0\}\^\{\{infty\}(-1)\^\{n\}\{frac\{\{ln(2n+1)\}\{2n+1\}\{,=\{,\{frac\{\{pi\}\{4\}\{big(\{ln\{pi- \{gamma)-\{pi\{ln\{Gamma\{left(\{frac\{3\}\{4\}\{right)и


 \{sum\_\{n=1\}\^\{\{infty\}(-1)\^\{n-1\}\{frac\{\{sin a n\{cdot\{ln\{n\}\}\{n\}\{,=\{,\{pi\{ln\{left\{\{\{frac\{\{pi\^\{\{frac\{1\}\{2\}-\{frac\{a\}\{2\{pi\}\}\}\{\{Gamma\{left(\{displaystyle\{frac\{1\}\{2\}+\{frac\{a\}\{2\{pi\}\{right)\}\{right\{\}-\{frac\{a\}\{2\}\{big(\{gamma+\{ln2\{big)-\{frac\{\{pi\}\{2\}\{ln\{cos\{frac\{a\}\{2\}\{,,\{qquad -\{pi Последний результат особенноважен так как он представляет собой разложение в ряд Фурье логарифмаГамма-функции, результат, который обычно, и как показано в, ошибочноприписывается Ернсту Куммеру, который получил похожую формулу


 \{frac\{1\}\{\{pi\}\{sum\_\{n=1\}\^\{\{infty\}\{frac\{\{sin2\{pi n x\{cdot\{ln\{n\}\}\{n\} =\{ln\{Gamma(x) -\{frac\{1\}\{2\}\{ln(2\{pi) +\{frac\{1\}\{2\}\{ln(2\{sin\{pix) -\{frac\{1\}\{2\}(\{gamma+\{ln2\{pi)(1-2x)\{,,\{qquad 0 лишь в 1847 году (строго говоря, результатКуммера получается из результата Мальмстена полагая a=π(2x-1)).
 Мальмстен внёс большой вклад и в теорию дзета-функций, а такжеотносящихся к ним интегралов и рядов. В частности, именно он доказал в1842 что

 L(s)\{equiv\{sum\_\{n=0\}\^\{\{infty\}\{frac\{(-1)\^n\}\{(2n+1)\^s\}\{qquad\{qquad
 L(1-s)=L(s)\{Gamma(s) 2\^s\{pi\^\{-s\}\{sin\{frac\{\{pis\}\{2\}, и

 M(s)\{equiv\{frac\{2\}\{\{sqrt\{3\}\}\{sum\_\{n=1\}\^\{\{infty\}\{frac\{(-1)\^\{n+1\}\}\{n\^s\}\{sin\{frac\{\{pi n\}\{3\}\{qquad\{qquad
 M(1-s)=\{displaystyle\{frac\{2\}\{\{sqrt\{3\}\}\{, M(s)\{Gamma(s) 3\^s(2\{pi)\^\{-s\}\{sin\{frac\{\{pis\}\{2\}, где ряды слева и справа сходятся при0\{zeta(1-s)=2\{zeta(s)\{Gamma(s)(2\{pi)\^\{-s\}\{cos\{frac\{\{pis\}\{2\}\{,,\{qquad\{qquad\{qquads\{neq0. которую Риман вывел в 1858 году, и которая,кстати говоря, также была впервые дана, хотя и в несколько другом виде,Леонардом Эйлером в 1749 году. В 1846 году Мальмстен также вывелнесколько других формул отражения, которые являются частными случаямиформулы отражения Гурвица для обобщённой дзета-функции.
 Говоря о вкладе Мальмстена в теорию дзета-функций, нельзя не упомянуть ио совсем недавнем открытии его авторства формулы отражения для первойобобщённой постоянной Стилтьеса
γ1(mn)γ1(1mn)=2πl=1n1sin2πmlnlnΓ(ln)π(γ+ln2πn)ctgmπn
где m иn положительные целые числа такие чтоm\textlessn. Это равенство долгое время ошибочноприписывалось Альмквисту и Меурману (Almkvist and Meurman), которыеполучили его на полтора века позже Мальмстена.
 Примечательно, что работы Мальмстена написаны очень современным языком илегко читаются (несмотря на то что многие написаны по-латыни,по-французски и по-шведски). Кроме того, обозначения, принятые в работахМальмстена, практически полностью совпадают с современными, что такжесильно облегчает их прочтение.